数列经典例题集锦.docx

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1、数列题目精选精编【典型例题】(一)研究等差等比数列的有关性质1 .研究通项的性质例题1,已知数列“满足a=an=3T+%(几2).(1)求电，。3；y-(2)证明：4一2解.（）/a1=1,.a2=3+1=4,3=32+4=13（2）证明：由已知氏_%T=3T,故%=（Q“一%一1）+（。一1一Q一2）+（2_%）y-所以证得“一二_+a1=3n-1+3n2+.+3+1=y例题2,数列M的前n项和记为sn=1，4+1=2Sn+1(1)(I)求H)的通项公式；(II)等差数列的各项为正，其前项和为J且4=15,又+打2+d，+4成等比数列，求7k解：(I)由=2S+1可得4=2t+1(2),两式

2、相减得：为+1-4=22M+=3%(2),又%=2S+1=3.%=3%故2是首项为1,公比为3的等比数列.一一3T(II)设也的公比为d,由1=15得，可得4+4+4=15,可得打=5故可设1=5-d,3=5+d,又O1=IM2=3,%=9,由题意可得(5-d+D(5+d+9)=(5+3)2,解得&=2,4=10,等差数列也的各项为正，Jdd=2.=3.+ST)X2=/+2=2例题3.已知数列%的前三项与数列也的前三项对应相同，且q+2%+22%+24=8对任意的N*都成立，数列么+1一2是等差数列.求数列/与%的通项公式；是否存在左N*,使得4-%e(0)，请说明理由.点拨：(1)%+2%+

3、22%+2=8左边相当于是数列2%zJ前项和的形式，可以联想到已知S八求知的方法，当2时，Sn-S1=a(2)把4一%看作一个函数，利用函数的思想方法来研究乙一%的取值情况.解：(1)已知+2%+22%+2一%二8几(？4*)92时，6+2%+2?/+2-2为_1=8(一1)5N*)一得，2%“=8,求得。=24,在中令=1,可得得=8=2,所以=2j5n*)由题意4=8,与=4,4=2,所以一4=4,b3-b2=-2f：.数列%一限的公差为-2-(T)=2,.+-=-4+(-1)2=2n-6,bn=+(%-4)+(4-4)+(-)=(T)+(-2)+Qn8)=2_7+14N*)(2)bk-a

4、k=k2-1k14-24-kf77当左4时，5)+/一21单调递增，且/(4)=1,所以左4时，/()=左2一7左+142-1,又一(1)(2)=(3)=0,所以,不存在左N*,使得为4(0,D.例题4.设各项均为正数的数列an和bn满足:an、bna11+成等差数列,bn、an1bn+1成等比代入并同除以亚二得:,收为等差数列02T=7+7Z,0E9=2,则为二,.ebi=2,a2=3,2,n(j+1)2,(+1)7=V2+(n-1xJ|-72)=y(n+1),.-./?H=(,)V222、1,、4=bnbn当n22时，又a=1,当n=1时成立,2.研究前n项和的性质例题5.已知等比数列的前

5、项和为S=2+%且=3.(1)求、方的值及数列/的通项公式；bn=-（2）设册，求数列/的前项和心Z=SS,T=2T,而%为等比数列，得见=2ia=a从而“=321.又a1=2a-b=3,.b=-3_IZ123n.T(IH17Hr)解：(I)2时，an又q=3,得=3,/nn(2)册32,II12351=3(5+球+及+n-1n+rzr+F),得5-(1+-+4+-)32222n-12n,n32222n5_5_21由Ia+0,得67,.数列bj的前项和的最大值为$6=2.（2）由（1）当7时，2,当7时，27时，S；=bi+b2+-n2412n41913+-f=2Sf+H+br)=-n-jh+

6、2113,+n(7)13-y+21(7)（1）求数列b.的前项和的最大值；（2）求数列也刀的前项和S/.解：（1）由题意：氏=104一，,旭4=4。.数列1g4是首项为3,公差为_1的等差数列，111.rk(Jc-V)11r_n(n-1).17-n1g+1g+1g%=3左br=-3n=.2,n22例题7.已知递增的等比数歹U%满足g+/+%=28,且%+2是2，%的等差中项.求%的通项公式句;若a二%叫广，Sn=1+勿求使S+小2+30成立的的最小值.解：（I）设等比数列的公比为4S1）,由aq-aq2-aq3=2S,aq-aq3=2(2+2),得：Q1=2,q=2或。尸32,q=2(舍)J念

7、=22(n-1)=2nbn=an1gan=-2n(2),.2,Sz7=-(12+222+323+.+2.9.2Sn=(122+223+.+2w+1),.*.Sw=2+22+23+.+2w-2w+1=-(-1)2w+1-2,若%+2+30成立，贝j2+32,故4,的最小值为5.例题8.已知数列的前项和为且T，SM+i成等差数列，eN*,%=1.函数/W=Iog3X.(I)求数列的通项公式；bn=1(II)设数列协满足5+3)(%)+2,记数列b的前项和为乙，试比较T与52.+5n12312的大小.解：(I)T，S，q+1成等差数列，2S=4+11当2时，2Sj=1-1.-k=3.一得：2sn-s

8、n-1)=an+1-an,3%=%/.a23,.=3,当=1时，由得,251=2q=41,又。1=1，a.4是以1为首项3为公比的等比数列，4=3(ID.f(x)=1g3X,/()=1g3an=1g331=-1,二=1(J(+3)()+2(+1)(+3)2+1n+3_1111111111111.,.1(111FH1)n224354657n+2z+1n+31111152.+5=2+3721225+2)5+3)，T与52+5比较丁一312的大小,只需比较25+2)5+3)与312的大小即可.又25+2)5+3)-312=2(n2+5n+6-156)=2(/+5-150)=2(+15)(-10)OI

9、z*1Ci=I7*2(+2)5+3)312,即4;.eN,.当19且N时，1231225+2)5+3)=312,即7；当=IO时，12312312,即北当10且N时，n12312.3.研究生成数列的性质例题9.(I)已知数列1N,其中g=2+3且数列q+i-2的为等比数列，求常数；(II)设%、/是公比不相等的两个等比数列，1=%+2，证明数列0不是等比数列.解：(I)因为金+ipc/是等比数列，故有(cn+1pcQ2=(Cn+2-pCn+)(cn-pcn-),将金=2+3代入上式，得2n+1+3n+1p(2+3)2=12n+2+3n+2p(2n+1+3n+1)2n+3np(2n1+3n1),

10、即(2)2n+(3)3n2=(2)2n+1+(3)3n+1(2)2厂】+(3)3一口，整理得6(2)(3p)23=0,解得p=2或p=3.(II)设斯、Z的公比分别为p、q，P*q,Cn=a+b.2为证金不是等比数列只需证GC1C3.22?2事实上，c2=(QIP+Z?Iq)2=ap2+diq2+2abpqfc1c3=(1+)Caip2+biq2)=ip27q1abQp-q1).由于q,p2+q22pqf又为、仇不为零，因此0；Ci-C3，故金不是等比数歹U列，并且所有公比相等。已知a24=1,求S=au+a22+a33+ann解：设数歹U%左的公差为d,2442依题意得:“43(。口+3d)

11、q=1(+d)q3=OQ31(On+2d)q=16,解得：au=d=q=2例题10./(n4)个正数排成n行n歹U：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数_1_42=7，43=TT8Io数列汝(i=1,2,3,，n)的公比为5则“%=a+(k1)d，akk=an+(k1)dqk1又产个数都是正数，k_ndq2,=211CIr11S=1-2+3+1-Zi222232%,I11C1r1122223242z+1S=2-两式相减得：2T28例题.已知函数AX)=1幅(狈+6)的图象经过点42,1)和5(5,2),记%=3，(),neN*.(1)求数列6的通项公式；bb+Z?9+FbT/设2若Tnm(meZ),求用的最小值;(1+)(1+)(1+-)p2n+1（3）求使不等式为”2P.an对一切nN*均成立的最大实数解：（1）由题意得Iog3(2a+/?)=1C1og3(5+Z7)=2,解得1a2b-1./(x)=Iog3(2x-1)an=3*1)=21N*(2)由(1)-T=2n211-13+F+F+,12n-1n+12/5)=设2n12n+1.2+37:,nwN2nTn=3-,则由12n-1TI35得人，.，丁十声十.132n-52n-32n-12+25+*+2ni+2n+2n+1222n-111I1=F(2n-12n2n+1212