抛物线及其应用6大题型.docx

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1、抛物线及其应用6大题型抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定,在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧,强调通性通法,规范解题步骤。一、焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为(如稣)，焦点为F.1、抛物线V=2pMp0),PF=Xo+=0+g2、抛物线V=-2PX(P0)zpf=-o-=-xo+.3、抛物线f=2p),(p0),阳=%+5=%+勺4、抛物线W=-2p),(p0)ff=v0-=-y0+-.【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的

2、标准方程对应于不同的焦半径公式二、直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交(有两个公共点或一个公共点)；相切(有一个公共点)；相离(没有公共点).2、以抛物线丁=ZpHp0)与直线的位置关系为例：(1)直线的斜率&不存在，设直线方程为4=，若。，直线与抛物线有两个交点；若。=0,直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若v,直线与抛物线没有交点.(2)直线的斜率左存在.设直线/：产去+6,抛物线V=2外(p0),直线与抛物线的交点的个数等于方程组上：彳+匕,的解的个数,y=2px即二次方程公/+2(心一)+从=0(或二9-2回+2如=0)解的个数.若女工。，则当

3、()时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当A=O时，直线与抛物线相切，有个公共点；当0)相交，有一个公共点.三、直线与抛物线相交弦长问题1、一般弦长设AB为抛物线y2=2px(p0)的弦,A(x1,y1)1B(x29y2),弦AB的中点为M(AO,%).(1)弦长公式,.AB=y+k2xi-*2=J+py-y2(左为直线旗的斜率,且zo).(2)%=,推导：由题意，知=2p$,y2=2px由，得(y+y2)(y-%)=2p(%-W)故=.fv,即g=.y-2%2(3)直线他的方程为y-%=Ax-0).%2、焦点弦长如图,如是抛物线y2=2px(p0)过焦点尸的一条弦，设A(,y),B(x29y

4、2)1AB的中点M*。,)，。)，过点A,M,8分别向抛物线的准线/作垂线，垂足分别为点A,4,M1,根据抛物线的定义有M=AA,BF=BBJB=AF+BF=M+1故A5=AF+忸尸I=IAA1|+忸闻.又因为M叫是梯形的中位线，所以IM=IAA1|+|网=2MMI,从而有下列结论；(1)以AB为直径的圆必与准线/相切.(2)IAM=21。+!|(焦点弦长与中点关系)(3)AB=xi+x2+p.(4)若直线AB的倾斜角为,则IM=%.sina(5)fB两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值,即XW=4，-P2.(6)由+嬴为定畛.题型1抛物线的定义及概念题型2利用抛物线定义求最值题型3抛物线的标

5、准方程抛物线及其应用题型4抛物线的中点弦问题题型5抛物线的弦长问题题型6直线与抛物线综合问题热点题型解读【题型1抛物线的定义及概念】【例1】(2023.全国.模拟预测)过抛物线c,y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线C于A(x,y),8(x2/2)两点，设照=%阿R,若，/+成等比数列，则:=()A.gB.3C.3或gD.y【变式1-1(2023秋内蒙古包头高三统考期末)已知抛物线C：V=公的焦点为尸斜率为2的直线/与。的交点为A/.若|4月+|明=10,则/的方程为()A.y=2x+1B.j=2x+IC.y=2x-1D.y=2x-【变式1-2】(2023秋.广西玉林高三校联考阶段练习)已

6、知抛物线C：V=2p工的焦点为产，点A(2m)在抛物线。上，且M=3,则P=()A.IB.1C.2D.4【变式1-3(2023春河南高三河南省淮阳中学校联考开学考试)若点尸是抛物线C:V=2x的焦点，点AB分别是抛物线C上位于第一、四象限的点，且_1x轴阴=2|叫，则点B的坐标为()【变式1-412023春河南开封高三统考开学考试圮知抛物线Cy=2px(p0),过焦点尸的直线43y-4=0与。在第四象限交于M点,则IMFI=()A.3B.4C.5D.6【题型2利用抛物线定义求最值】【例2】(2023秋.山西阳泉.高三统考期末)已知点P为抛物线V=2PX(P0)上一动点，点。为圆c(+f+(y-

7、4)2=上一动点，点尸为抛物线的焦点,点P到y轴的距离为4,若PQ+d的最小值为2,则，=()A.IB.1C.3D.4【变式2-1(2023春北京海淀高三人大附中校考开学考试)已知双曲线V=I的左焦点与抛物线G：/=G的焦点尸重合，。为抛物线&上一动点,O定点A(-5,2),则S+QP的最小值为()【变式2-2（2023江西上饶高三校联考阶段练习）已知M是抛物线V=4上一动点，直线/的方程为x=-3,定点N（0.2）,M到/的距离为小则八|MN1的最小值为（）A.5B,y/5+2C.5D.7【变式23】（2023秋山东德州高三统考期末）曲线4-丁=0（y0）上有两个不同动点MN,动点M到PQ4

8、）的最小距离为4,点N与Q（1,3）和R（0,1）的距离之和|叫+|照的最小值为4,则4+4的值为（）A.8B.9C.4+23D.5+2。【变式2-4】（2023广东梅州统考一模）函数f（x）=ATF+J#*-413的最小值为【题型3抛物线的标准方程】例3（2023秋江苏南通高三统考阶段练习）抛物线=8/的焦点到准线的距离是（）.abc2d4【变式3-1（2023重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）（多选）已知抛物线C的焦点在直线x+2y+3=0上，则抛物线C的标准方程为（）A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=-6yD.x2=6y【变式3-2（2023陕西宝鸡校联考模拟预测）已知抛物

9、线C：V=2px（p0）上的点P到焦点的距离比到y轴的距离大2,则=.【变式3-3（2023秋辽宁高三校联考期末）已知抛物线V=2px（p0）的焦点为F,抛物线上一点A在准线/上的射影为3,且AABF为等边三角形.若0川=日,则抛物线方程为（）A.y2=2xB.y2=4xC,y2=8xD.y2=16x【变式3-4】（2023山东潍坊统考一模）已知抛物线C经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4,请写出一个满足条件的。的标准方程.【题型4抛物线的中点弦问题】例4（2023春河南新乡高三校联考开学考试）已知直线/交抛物线C：V=18x于M,N两点，且MN的中点为（5,3）,则直线/的斜率为（）【变

10、式4-1】（2023秋江西高三校联考期末）如图，已知抛物线E：V=2px（P0）的焦点为尸，过产且斜率为1的直线交上于A,B两点，线段AB的中点为M,其垂直平分线交X轴于点。，N1.v轴于点M若四边形OCMN的面积等于8,则D.y2=Sx【变式4-2（2023全国高三专题练习）已知A,B是抛物线。：丁=以上的两点，线段B的中点为例（2,2）,则直线AB的方程为.【变式4-3（2023全国高三专题练习）已知抛物线UV=的焦点为Q,直线/与C交于A,B两点.（1）若/的倾斜角为*且过点F,求IAM;（2）若线段AB的中点坐标为（3,-2）,求/的方程.【变式4-4（2023安徽宿州.统考一模）若抛

11、物线C：/=2px存在以点（3,3）为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为.【题型5抛物线的弦长问题】【例5】（2023山东荷泽统考一模）过抛物线Uy=4/焦点/作倾斜角为30的直线交抛物线于AB,则IAM=（）12A.-B.=-C.1D.16【变式5-1（2023.河南郑州.统考一模）过抛物线f=4X的焦点/F乍直线交抛物线于A（N2）、3（w,%）两点，若为+4=4,则IAM的值为（）A.4B.6C.8D.10【变式5-2（2023福建泉州高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线UV=叙的焦点为尸，过点尸的直线/与。交于M,N两点，P为MN的中点，则下列说法正确的是（）A.IMN1的最小

12、值为4B.IMEITMn的最大值为4416C.当I。尸I=IN产I时，IMNI=8D.当IPF1=I时，IMN1=空【变式5-3（2023陕西西安统考一模）设抛物线。：/=2氏（0）的焦点为尸,MC,Q在准线上，Q的纵坐标为6，点例到厂与到定点。的距离之和的最小值为4.(1)求抛物线C的方程；(2)过尸且斜率为2的直线/与。交于A、B两点，求一A伙2的面积.【变式5-4(2023春浙江杭州高三浙江省杭州第二中学校考开学考试)已知抛物线V=4x上一点P(1,2),圆M：(x-3)2+y2=1,过P作圆M的两条切线，切点分别为A,8.(1)求直线AB的方程：(2)直线PA依分别与抛物线交于两点，求

13、线段CD的长度.【题型6直线与抛物线综合问题】【例6】(2023春山西晋城高三校考阶段练习)已知抛物线C=20,(pO)的焦点为F,准线为J点尸是直线yy=-2上一动点，直线/与直线4交于点Q,IQF1=底(1)求抛物线C的方程；(2)过点P作抛物线。的两条切线PAP8,切点为A8,且一9E4M5,求一RW面积的取值范围.【变式6-1】(2023.山东潍坊一中校联考模拟预测)已知尸为抛物线Uy2=2px(p0)的焦点，。为坐标原点，M为C的准线/上的一点，直线的斜率为一小。产M的面积为1.(1)求C的方程；(2)过点尸作T直线,交。于AI两点,试问在/上是否存在定点N,使得直线仍与NB的斜率之

14、和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.【变式6-2】(2023全国高三专题练习)已知抛物线C=2py经过点P(-2,1),过点Q(TO)的直线/与抛物线C有两个不同交点AI,且直线必交1轴于M,直线总交X轴于N.(1)求直线/斜率的取值范围；(2)证明：存在定点丁，使得QM=2Q7,QN=Qr且;+：=4.【变式6-312023秋辽宁营口高三统考期末)已知椭圆u/g=1(ab0)的离心率为3,且经过点八1-2(1)求椭圆C的方程；(2)过A作两直线与抛物线)，=32(w0)相切,且分别与椭圆。交于尸，Q两点，直线”，AQ的斜率分别为勺，&求证：；+看为定值；试问直线PQ是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.【变式6-4(2023春四川高三校联考阶段练习)已知直线F=TxT与抛物线C：丁=-2Py(P0)交于九)，(/，八)两点，且(xw+1)(+1)=-8(I)求C的方程(2)若直线y=kko)与C交于AB两点，点A与点)关于y轴对称，试问直线A6是否过定点？若过定点，求定点的坐标；若不过定点，说明理由,（建议用时：60