2024届一轮复习人教A版 圆锥曲线的探索性问题 学案.docx

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1、第8讲探索性问题【母题】已知椭圆G9f+/=病(%0),直线，不过原点O且不平行于坐标轴，/与。有两个交点力，B,线段46的中点为就(1)证明：直线犷的斜率与/的斜率的乘积为定值;延长线段加与C交于点A四边形力外能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率；若不能，说明理由.2思路分析假设四边形勿阳能为平行四边形线段力与线段。互相平分计算此时直线/的斜率下结论(1)证明设直线/：y=kx-0,b0),力(x,y)B(xz,J2)Mxu,ytf).将y=Ax+b代入9f+=得(A29)z2AZ2-/W=0,故Xv-小+加kb2A,9,9by尸kxrZ=2_|_g.ytf9于是直线的斜率kof=7,即k

2、ank=-9.XuK所以直线3的斜率与1的斜率的乘积为定值.因为直线J过点偿(2)解四边形的加能为平行四边形./，所以/不过原点且与。有两个交点的充要条件是心0,A3.9由得犷的方程为y=/设点尸的横坐标为加922y=/，-2Kni011km得M=5?即M丽百9?+y=zV将点停，的坐标代入直线1的方程得b=n3k,EiJkk-3m因此片37+9.四边形以阳为平行四边形，当且仅当线段4?与线段。互相平分，即期=2松.rkmkA3m于是C/,，IC=2XQ入Q，3A+93A+9解得k=4巾，=4+小.因为击0,左关3,J=1,2,所以当直线，的斜率为4于或4+寸，四边形以加为平行四边形.2子题1

3、已知椭圆G3+/=1的左、右焦点分别为,R,左、右顶点分别为4,A2.(1)若为C上任意一点,求|若|I明I的最大值;(2)椭圆C上是否存在点狄异于点4,给,使得直线,必与直线x=4分别交于点,R且I必1=1?若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.解由椭圆的定义可知I姐1+1购I=4,R+烟Ii腑w(J-=4,当且仅当I折I=I圾|=2时等号成立，,附I炳I的最大值为4.(2)假设存在满足题意的点不妨设尸(照，必)(外0),则一2用2.由题意知直线PAi的方程为y=(+2),照十，令*=4,得%=黑,直线Ph的方程为y=、(x2),Ab-Z令x=4,得#=检，.,r,6h2必4检刖16

4、MAyoAb_44一m.R由I娇I_41,得刖=4加由京+4麻=4,得548汽+12=0,Y/=-1760,此方程无解.故不存在满足题意的点A子题2(2023合肥适应性检测)已知抛物线C：4=4必过点(2,0)作直线1与抛物线C交于必，W两点，在X轴上是否存在一点儿使得X轴平分N物A?若存在，求出点力的坐标；若不存在，请说明理由.解当直线/的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知尸轴上任意一点力(不与点0)重合)，都可使得X轴平分N极W：当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k(-2)U0),y=kx-2,设.机(汨，/1),JV(X2,y),联立方程12y=4f消去y得必大一(4六+4)*+

5、4六=0,显然40,.I4+4X+及=7，xiX2=4,(*)假设在X轴上存在一点A(af0),使得X轴平分NMW,VY2 *.+检=0,:1+1=0,xaxz-a.，X1a+次X1a =09Xax-a又力=A(X12),y2=k(x2-2),.2小黑a+2击+4aCX2-a小+蜀+才把(*)式代入上式化简得4a=-8, 8=-2,点力(-2,0),综上所述，在X轴上存在一点/(一2,0),使得X轴平分/.，的、规律方法探索性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律.(2)若只给出条件，求“不

6、存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.【跟踪演练】1.已知椭圆G：=1,点8(0,1),点4为椭圆G的右顶点，过原点。的直线，与椭圆G交于八。两点(点0在第一象限)，且与线段四交于点就是否存在直线使得仇下的面积是身/0的面积的3倍？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.解设0(加，则尸(一照，一，可知Oo2,0j1.假设存在直线7,使得用W的面积是图的面积的3倍，贝IJ1例=3|掰I,即IG1=3W,即施=M/=(%o,|.Fo得J(IXo,又力(2,0),直线力8的方程为x+2y2=0.24点在线段AB上

7、，-0+j2=0,整理得照=32为，2 点0在椭圆G上，昔+B=1把式代入式可得8%12次+5=0, ；判别式=(-12)2-48X5=-16O, 该方程无解. 不存在直线7,使得的面积是的面积的3倍.2.(2023滁州模拟)已知椭圆反:+：=1的左、右焦点分别为,&是否存在斜率为一1的直线/与以线段EK为直径的圆相交于48两点,与椭圆E相交于两点,且6PI四I=粤豆？若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.解假设存在斜率为一1的直线/,设为y=-+期由题意知，(-1,0),(1,0),所以以线段内为直径的圆为f+=,由题意，圆心(0,0)到直线，的距离d=与91,得|勿0,解得，7,又

8、m2,所以M2.设C(m,i),Dkx2,，118/4-12则X-X=-,X1X2=,m=gMS恒产4t7序若I俎I加=粤国则SXgX芈Xg=粤旦整理得4/-36/+17=0,解得d=T或状=号又/x+x2=一而不T,小.=一而不P出=四竺竺竺曲9Msin3sinN/物y-my2-m:/PQA=4PQB,:.k=-k懒Jr=W,X1X2(/71)(xx2)=2kXX2f4k2即一(11)*2.+=-2左2.+,解得初=2,存在定点。（0,2）,使得署=舒亘成立.2.在平面直角坐标系*6!K中.已知点QNi0）,直线7：x=23,动点尸满足到点。的距离与到直线1的距离之比为乎.已知点（一5,0）

9、,G是圆E/+炉一215X-21=0上一个动点，线段的的垂直平分线交GE于P.点S,T分别在X轴，y轴上运动，且IST1=3,动点尸满足灰等旗祥近（1）在这三个条件中任选一个，求动点尸的轨迹C的方程；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）设圆Ox/+7=2上任意一点A处的切线交轨迹C于M,N两点，试判断以JW为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.解（1）若选,设尸（X，0，根据题意得，N1乎TJ=乎,X23/所以动点的轨迹。的方程为在T1若选，由：X-y25x21=0得（X3）2+y=24,由题意得I刑=|%|,所以I掰+1阳=%+阳=I阴=2加=

10、23,所以点尸的轨迹C是以为焦点的椭圆，且a=#,c=y,则=y3,所以动点P的轨迹C的方程为卷+=.OO若选，设P(x,y),S(x,0),7(0,y,),则/2+yz2=9,(*)将其代入(*),得:+=1OO22所以动点产的轨迹。的方程为5+5=1.OO(2)当过点力且与圆。相切的切线斜率不存在时，切线方程为*=-1当切线方程为彳=/时，玳*，2),(2,-2),以MV为直径的圆的方程为(x/V+/=2.当切线方程为X=一/时，做一派，2),7V(-2,-2),以极V为直径的圆的方程为(x+d5)2+=2.由联立，可解得交点为(0,0).当过点/1且与圆。相切的切线斜率存在时，设切线方程

11、为y=Ax+加，即7之=*,即/A+1Y=2(2+1).Iy=kx+f,?+T=b并消去八得(1+2A2)X+4kmx+2nf6=Q.因为=16ArW4(1+2Ar2)(2/-6)=8(6Ar23)=-8(2+26-3)=8(4Ar2+1)0,所以切线与椭圆C恒有两个交点.设(X1，7),M2,72)则X1X2=4km1+226小X2=TT5?因为施=(汨，y),Si-(2,，所以VON=x2yy2=汨照+（kx、+ni）（kx2+勿）=（1+Ag）XX+km（x+照）+病=（1+3-6-6A-232A21-6一621+2A2=W=所以OM1ONt所以以楙为直径的圆过原点(0,0),综上所述，以W为直径的圆过定点(0,0).