直线与圆锥曲线经典例题及练习.docx

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1、直线与圆锥曲线【复习要点】直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次1有利于选拔的功能.1 .直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2 .当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法

2、”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.【例题】【例1】已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q,KOPOQ,FQ1=与，求椭圆方程.解：设椭圆方程为妙2+y2=i(相o*),尸(X1,y1),Q(x2,y2)由I(m+)x2+2x+-1=0,mx+ny=1A=424(m+)(1)0,BPm+-mnU,由QP_1O。,所以XIX2+y1y2=O,即21+(xi+x2)+1=0,.2(n-T)2n1.C.+1=0,.m+n=2mA-nmn又22m-n,2，将根+

3、=2,代入得mn=由、式得根=，*=1或机=14=1?!故椭圆方程为一+1=i或1X2+,2=.2111【例2】如图所示，抛物线丁=4%的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为一的直线/与线段QA相交(不经过点。或点A)且交抛物线于M、N两点，求AAMN面积最大时直线/的方程，并求AAMN的最大面积.解：由题意，可设I的方程为y=x+m,-5mO,解得机VI,又一5根2)贝Uxi+%2=4-2m,xvx2=m2,：.IMN=4,2(1田点A到直线I的距离为d=5.*.5=2(5+m)y1-m,从而52=4(1-m)(5+m)25S8JF,当且仅当22机=5+机,即m=-1时取等号.故直线I

4、的方程为y=x1,AMN的最大面积为8Vr.【例3】已知双曲线C2/丁=2与点P(1,2)o(1)求过P(1,2)点的直线/的斜率取值范围，使/与。分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若。(1,1),试判断以。为中点的弦是否存在.解：当直线/的斜率不存在时，/的方程为x=1,?与曲线C有一个交点.当/的斜率存在时，设直线/的方程为y2(x1),JoI?代入C的方程，并整理得1(22)x2+2(22k)x2+4-6=0(*)(1)当22=0,即仁6时，方程(*)有一个根，/与。有一个交点(ii)当220,即时-2(2-2)24(22)(2+4-6)=16(32k)当/=0,即32=0=1时

5、，方程(*)有一个实根，/与C有一个交点.当o,即左V二又左,故当左vVT或一VTkv或Jr二时，方程(*)无解，/与C无交点.!综上知：当=,或左=1,或左不存在时，/与。只有一个交点；!当Jr二时，/与C没有交点.!(2)假设以。为中点的弦存在，设为AB,且A(X1yI),8(x242)，则统/一了/可2君一行二2两式相减得：2(x%2)(xi+x2)=(yi-y2)(yi+y2)又丁X1+x2=2,y1+y2=2.,.2(x-2)=y-y即Zcab=2X1-X1但渐近线斜率为VF,结合图形知直线AB与。无交点，所以假设不正确，即以。为中点的弦不存在.【例4】如图，已知某椭圆的焦点是b1(

6、4,0)、尸2(4,0),过点B并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为B,且田田+|尸2引=10,椭圆上不同的两点A(x,y),C(%2,M满足条件:旧2川、旧2引、下2。成等差数列.求该弦椭圆的方程；求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.解：由椭圆定义及条件知，2g尸田+|尸2同=10,得。=5,又c=4,所以/2=Ja2-C2=3.22故椭圆方程为匚+二=1.259(2)由点3(4,班)在椭圆上，得尸2引=|冲I=:因为椭圆右准线方程为尸二,离心率为二，根据椭!45圆定义，有尸2川二1(1-X1)JBCI=(1X2)，J4J4由旧2A、尸2月、

7、尸2。成等差数列，得一(-X1)+一(X2)=2X-,由此得出：i+X2=8.设弦AC的中点为P(XOjo)J1J3上产=4.(3)解法一:由A(Xim)CS,)在椭圆上./日2+252=925得592+22=92一得9(%2-%22)+25(y2-j22)=0,将传0)代入上式，得9x4+25yoj1)=O(0)即上二yo(当k=0时也成立).36.由点P(4,比)在弦AC的垂直平分线上，得泗=4k十九Ai25If所以m=yo4k=yo-yo=yo由点P(4,而在线段BBB与B关于X轴对称)的内部，得一FVyoV1,所以一Fmy.解法二：因为弦AC的中点为P(4,yo),所以直线AC的方程为

8、y-yo=-F(%4)(0)22将代入椭圆方程匚+二=1,得259(92+25)f-50(Bo+4)x+25(Bo+4)225x9所以X1+X2=50(，+4)=8,解得k=yo.(当k=0时也成立)9/+2536(以下同解法一).吒相切.过【例5】已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆金版T点尸(TO)作斜率为一的直线I,使得I和G交于A,B两点，和y轴交于点C,并且点P在线段AB上，又满足Iz(1)求双曲线G的渐近线的方程；(2)求双曲线G的方程；(3)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴.如果S中垂直于I的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.解：（1）设

9、双曲线G的渐近线的方程为：y=kx,则由渐近线与圆月方相切可得：严1=亚双曲线G的渐近线的方程为：y=-x.2（2）由（1）可设双曲线G的方程为：W.把直线I的方程y=1（%+4）代入双曲线方程，整理得r白m夕八181Sh、贝9Fh（*）H日竹yZMHC共线且P在线段AB上，即：整理得：将（*）代入上式可解得：m=28.所以，双曲线的方程为二-皂=1.287（3）由题可设椭圆S的方程为:IT=Kg叫.下面我们来求出S中垂直于I的平行弦中点的轨迹.设弦的两个端点分别为人4MN的中点为F（飞,不），则两式作差得：由于一左二4,%-X2所以，为一当=0,28a2所以，垂直于I的平行弦中点的轨迹为直线

10、二-3=0截在椭圆S内的部分.286又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，=所以，4=56,112222椭圆S的方程为：+=1.2856点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）.【例6】设抛物线过定点A（10），且以直线X=I为准线.（1）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（2）若直线I与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线X二-1平分，设弦2MN的垂直平分线的方程为尸友S,试求用的取值范围

11、.解：（1）设抛物线的顶点为G（x,y）,则其焦点为尺2）.由抛物线的定义可知:所以，所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为：x2+-=1（%1）.（2）因为身是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定.所以，要求加的取值范围，还应该从直线I与轨迹C相交入手.显然，直线I与坐标轴不可能平行，所以，设直线I的方程为/:y=x+6,代入椭圆方k程得：1又线段MN恰被直线x二-5平分，所以，所以，bk=42+1-2代入（*）可解得:下面，只需找到说与t的关系，即可求出身的取值范围.由于平fe1Hz为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点P1-；,为在/:y=-中，令X1,可解得:2将点?

12、一3，2女）代入1Hz,可得：m=,所以,从以上解题过程来看，求力的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求力与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发，我们可以得到一下面的另一种解法：解法二.设弦MN的中点为p-则由点M,N为椭圆上的点，可知：4+yJ=442+2=4两式相减得：又点p-；,%在弦MN的垂直平分线上，所以，X)=g左+113所以，“十万左,r由点p1-；,凡)在线段BB，上(BJB为直线X二-g与椭圆的交点，如图)，所以,35点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便.涉及

13、弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求)，必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.从构造不等式的角度来说，“将直线I的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN的中点P(-g,%在椭圆内”是等价的.【例7】设抛物线f卓的矛。的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A、B两点.又M是其准线上一点.试证：直线M4、MF、的斜率成等差数列.证明依题意直线M4、9、尸的斜率显然存在，并分别设为匕，打，口点A、B、M的坐标分别为A(I1,),B(X2,2),M(-,m)由过点尸(一，0)“得Iab：x=ty*将上式代入抛物线F=/中得：分又依“Ji2=24及2=孕差”可知可知r3i-M2m：1二-Xm2+#)Am2+P而A0m故即直线M4、MF,MB的斜率成等差数列.【例8】已知=(x,0),b=(1y)(1)求点P(,y)的轨迹C的方程；(2)若直线I：y=kx+m(kmO)与曲线C交于A、B两端，D(0,一1),且有IAD1=IBD试求m的取值范围。(1)解:2J得q/二丫2.P点的轨迹方程为二-r=13y=kxim(2)考虑方程组”消去y,得(13k2*6kmx3m2