数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法(史上最全的方法和习题).docx

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1、数列专题1、数列的通项公式与前n项的和的关系Si,二1an=(数列/的前n项的和为1=Q1+a2+4)k-22、等差数列的通项公式an=a1+(-1)J=dn+a-d(jN*)3、等差数列其前n项和公式为(+)(-1),d2z1八sn=nai-d=n+(-d)n.4、等比数列的通项公式ar=a1qni=色qSN*)；q5、等比数列前n项的和公式为常用数列不等式证明中的裂项形式:1111111(1)(-=(n(n+1)nn+1n(n+k)knk-11 1Iz11、(2) 淳TT-j=5-TTT)kk12kk+1C1111111(3) -y-kk+(左+1)左k2(kkk-k(i+1)(+2)2|

2、_(+1)(+1)(+2)(5)-=-(+1)!n(+1)!(6)2+1=-j=.-j=-+1+-12nn(n+1)数列的通项公式的求法1定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例.等差数列是递增数列，前n项和为鼠，且成等比数列，S5=。；.求数列为的通项公式.解：设数列%公差为d(dO).ai,a3,a9成等比数列，：.af=a1a9,即(a1+2d)n+nn(j+1)n+1=a1(%+8d)=J2=aid:dO,.*.a1=d5x4*S5a；.5hd(%+4d)233由得：/=g，d=飞333id)Si，52)。*a-+(-1)J2.公式法：已知S(即/+O?+4=/()求,用作差法：

3、Cin=例.已知数列an的前n项和Sr1满足SZZ=2凡+(-1)n1.求数列%的通项公式。解：由%=S=2a11=%=1当儿2时，有%=S-Sz=2(%-n-)+2(-1),.an=2a1+2x(-1_1_1_1,%=2ar-2+2X(1)2,g=2%2.ar=2Tai+2T(-1)+T-1(-1)2+2(RT=21+(-1)n(-2)1+(-2)2+(-2),121-(-21=2TT)3?二？2，1严.9AI),5=1)经验证为=1也满足上式，所以为=-2n-2+(-1)n-i,d2)f(-D3 .作商法：已知a。q=/()求，用作商法：=f(n)如数列6中，%=1,对所有的孔2都有QIQ

4、2。3。=2,则4+。54 .累加法：若an+1-an=75)求：%=(%-%-1)+(-1-4一2)+(。21)+4(2)。例.已知数列azJ满足a=：求明。解：由条件知：an+iar分别令=1,2,3,伽1),代入上式得51)个等式累加之，即(2.%)+(3&)+(。4/)+(1a-0“1、/1、/1、Z11/丁H所以凡一%1n111311 22n2n例：已知数列，且。产2,an+=a+n,求斯.解：%+=%+孔,an-an-=-1,an-an=n-2fan_2-an_3n-3,a2-a1=1将以上各式相加得%1+2+3H1一1(1+-1)(1)5-1)Cfz,一(I4T122又因为当=1

5、,%=2+D9=2成立，2,Cn(n-1)/N*、C12d(N)n25.累乘法：已知%k=5)求知,用累乘法：an=(2)Oanan-1an-2r例.已知数列q满足。1=一,an+1=-an,求明。3+1解：由条件知3=，分别令=12,3,51),代入上式得51)anzi+1个等式累乘之，即a,a,a,ar123n-1ar1-J=一X-X-X=a1a2%a-234na1n722又为=一,.,.ar,=一例：已知%=3,%+=3%,求通项斯.解：+I=?*&=3Q1a_3“T_3”-2an-an-2(-1)n2-把以上各项式子相乘得31323312+3+-13Q15-1)1%=321又当n=1时

6、，%=32=3成立(n-1)n11.*.C1rI=326.已知递推关系求,用构造法(构造等差、等比数列)。(1)形如氏+1=夕%+/()只需构造数列,消去/伍)带来的差异.其中/伍)有多种不同形式/(M为常数，即递推公式为%+=+9(其中P，q均为常数，(夕如夕1)0)o解法：转化为：an+1-t=p(an-t)f其中=/二，再利用换元法转化为等比数列求解。i-p例.已知数列gJ中，=1,an+1=2an+3,求明.解：设递推公式氏+1=2%+3可以转化为an+1-t=2(an-t)即=2%Tny3.故递推公式为%+1+3=2(%+3),令2=氏+3,则A=/+3=4,且%=aW=2.所以k是

7、bn%+3以=4为首项，2为公比的等比数列，则a=4x2T=27所以%=2向3./伍)为一次多项式，即递推公式为an+pan+m+s例.设数列%：a1=4,an=3an-1+2-1,(2),求明.解：设a=4+A+5贝J*=2415,将%,明代入递推式，得bn-An-B=3瓦T-A(-1)-+2t-1=32T-(3A-2)n-(3B-3A+1).取a=%+1(1)则2=32又仇=6,故a=6x3T=2x3代入(1)得明=2x31备注：本题也可由=3。八_+2n1,an_r3tzn_2+2(1)1(3)两式相减得氏-%-1=3(。“2_2)+2转化为a=a_1+求之./5)为的二次式，则可设2=

8、%+A几2+b+c；（或（2）递推公式为+=+1（其中p,q均为常数,（pq（p-1）（q-1）O）oan+1=pan+rqn,其中p,q,r均为常数)解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以向，得：=+-qqqq引入辅助数列a（其中么=2）,得：2+=句+,再应用类型（1）的方法解决。qqq例.已知数列1中，/=*=；2+（：严，求明。632解：在%+=g%+（g）M两边乘以2向得：2+iQ1=1（2qJ+1令bn=2an,则=+1,应用例7解法得：4=32。所以%等=3（；）-2（；）（3）递推公式为%+2=P%+1+夕为（其中p，q均为常数）。s+tP解法：先把原递推公式

9、转化为。八+2-S%+=K%+-S%）其中S，t满足,再应用前面st=-q类型（2）的方法求解。2即“+2=(s+t)an+1-stan23=13S=I1或Vt=31S=3t=1这里不妨选用s=11t=3（当然也可选用4_1S=3，大家可以试一试），则t=1Izan+2an+1=一+i%）n外讨一2是以首项为g-%=1,公比为-g的等比数列,所以an+1-anI,应用类型1的方法，分别令=1,2,3,51）,代入上式得51）个等式累加之，即见-为+1+1-(-1Yi-I3I+13例.已知数列%中，a1=1,a2=2,an+2=-ar+1+-ar,求明。1解：由%+2=+%可转化为%+2S%+1

10、=%+1S%)731又.=1,所以2=H-),14437.形如为=7%7或%i-bankanan1的递推数列都可以用倒数法求通项。kanO且?3,将等式两边取对数得Iga.=21g%-1g3,即1g%+Tg3=2(1g%-Ig3),91g%Ig3为等比数列，其首项为1g%1g3=1g,公比为221g-1g3=21.1g-,?1g=2-1.1g-+1g302-二.数列的前n项求和的求法1 .公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：1+2+3+=(+1)，I2+22+=(+1)(2+1)，2613+23+3

11、3+“3=产,)2_例、已知10g3X=，求X+2+3H-Xn-的前n项和.Iog23解：由1og3%=;Iog3X=-Iog32=X=-一Iog232由等比数列求和公式得=X+.+%(利用常用公式)-(1-X(I-Xn)22n1122 .分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.例2、求数列的前n项和：1+1-+4,4+7,，I+3-2,.aaan解：设S=(1+1)+(F4)+(+7)H1-(+32)aa1an-1将其每一项拆开再重新组合得Sn-(Ih1H-)+(1+4+732)(分组)aaan当a=1时，+=四力22(分组求和)a-an(3n-1)n(212当1时，S=11+坦112a3 .倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).例3、求sir?r+s22。+Sin23。+sin288+s289的值解：设S=Sin2r+si22o+sin23o+.+si288o+sin289将式右边反序得(反序)S=s289o+sin288o+