(新)巧算均质三角形的转动惯量详解.docx

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1、巧算均质三角形的转动惯量将一个均质三角形等分为四个与之相似的全等三角形，借助平行轴定理建立一个一元一次方，即可求得此三角形对过其质心且与其相垂直的轴线的转动惯量(注：以下均简称为对质心的转动惯量)。分别用M和m表示右图所示的质量分布均匀的正六边形和正三角形的质量，a表示它们的边长，I和表示过它们各自质心且与它们垂直的轴线的转动惯量。右图中d、e、F分别为Aabc三边的中点，O为Aabc的质心，也即其三条中线的交点。很容易证明，在Aabc的三条中位线将其所分得的四个与之相似的全等小三角形中，Adef的质心与Aabc的质心重合，其它三个小三角形的质心不仅依次处在Aabc的三条中线上，而且到o点的距

2、离等于其所在的中线长度的1/3(如图中Aafe的质心G在中线AD上，且og等于AD的1/3)O对Aabd的ab边和Aacd的ac边应用余弦定理，并结合D为BC的中点等，可得AB2+AC2=2AD2+-BC2(1)2同理可得AB2+BC2=2BE2+-AC2(2)2BC2+T1C2=2CF2+-AB2(3)2三式相加，整理可得AB2+BE2+CF2(AB2+BC2+AC2)(4)因上述的四个全等小角形的边长皆等于ABC对应边长的一半,故采用换元法，由转动惯量的定义式即刻可就可推知，这四个小角形对各自质心的转动惯量为Aabc对其质心的转动惯量的分别用m、a、b、C表示AABC的质量和三条边AB、BC与AC的长度。由平行轴定理和Aabc对质心o的转动惯量等于四个全等小三角形对质心O的转动惯量之总和，可得I=4i+ad)2+Qbe)2+Qcf)2(5)将(4)式代入(5)式，整理即得I=m(a2+b2+c2)(6)