第四章 半导体中载流子的统计分布（已校对）.docx

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1、第四章半导体中载流子的统计分布前章已讲过，完整半导体中的电子能级构成能带，有杂质和缺陷的半导体,在禁带中存在局域化能级。实验证明，半导体的导电性能强烈地随温度、杂质种类及其含量变化。这主要是因为半导体中的载流子数目对温度和杂质是非常敏感的。本章讨论热平衡情况下，载流子在各种能级上的分布，计算导带电子和价带空穴的密度，分析它们与半导体中杂质含量及温度的关系。4-1状态密度大家已知道，在周期性势场中运动的电子，其波函数为布洛赫函数。对于一个确定的能级，电子的运动状态可用一个波矢后来标志。在周期性边界条件限制下，波矢后只能取一系列间断值，这些允许的后在倒空间是均匀分布的，其密度为上（见本章后*）。考

2、虑到电子自旋的两种取向后，在倒空间单位体积内电子Q兀）3的状态数（即密度）为式中，V是晶体的体积。上式为一个普适公式，对任何晶体都适用。在讨论具体问题时，通常使用以能量为尺度的状态密度N（E）,其定义为单位晶体体积、单位能量间隔中的状态数。对于半导体来说，导带中的电子一般集中在导带底附近的状态中，而价带中的空穴一般集中在价带顶附近的状态中（为什么？）o因此，只需考虑导带底和价带顶附近的情况。一.导带状态密度N/）Ge、Si是最重要的半导体，它们的导带都属于多能谷情况。所谓能谷是指能带中能量的最低处。设想导带有M个彼此对称的能谷，在每个能谷处，能量作为后的函数可表示为E=Ec+-+（见本章后4*

3、）（4-2）2m1m2m3式中，与=EnIin为导带底能量，ki=ki-k.i（i=1,2,3）为导带底附近的波矢G与导带底处波矢E。的坐标分量之差。在无空间中，由能量相等的波矢G所构成的曲面称等能面。因此，(4-2)式表示，在半导体的导带底附近，等能面为椭球面。椭球中心在能量极小处，相应的能量为导带底Ec。式中的mi,m2和m3为沿椭球主轴方向上的有效质量分量。椭球的三个半轴长分别为2nt(E-EQJ/22%(E-Ec)/和2m3(E-,2Tz2Tz2力2对于那些能量在EC到E范围内的电子态，其波矢无都在该椭球里面。从而在M个能谷附近能量在EC到E范围内的电子态数目为M2V4r2m1(E-E

4、c)122m1E-Ec-2r2m3(EEc)产(2)3T1记J1iJ1iJ=吟(T笠产严(4-3)式中，M是能谷数，是倒空间单位体积中的状态数，其余因子是能量椭球(21)3的体积。将(4-3)式对能量取微分，并除以晶体体积V,便得到在单位晶体体积中，能量在E到E+dE范围内的电子态数N,(E)dE=4M8/(EfdE(4-4)h式中，()即为电子的状态密度，它表示单位体积晶体中，单位能量间隔内的电子态数。若令mdn=M2z3(m1m2m3)z3(4-5)则%()可表示为NC(E)=4兀QmJ2(E-EJ2(4-6)hmdn称导带电子状态密度有效质量。(4-6)式与自由电子的状态密度表示式N(E

5、)=士强()”2类似，只是这里用电子状态密度有效质量H1dn代替了电力3子的惯性质量。如果导带极小值发生在布里渊中心(GaAS等一些直接带隙半导体材料常常属于这种情况)，则导带只能有一个能谷，M=Io对于立方晶系材料，根据能带的对称性，在斤=0处的能谷附近，等能面为球面。既有方2“2E=Ec(4-7)2m在式(4-4)中，只需令m=m2=m3=m*和M=I,便可直接得到球形等能面的状态密度NC(E)=4(2)3：(e-EJ/2(4-8)h二.价带状态密度NV(E)一些主要的半导体材料，其价带顶都位于布里渊区中心(无=0)。考虑自旋轨道耦合作用后，有两个能带(重空穴带和轻空穴带)在斤=0处相接触

6、(见图4-0考虑自旋.轨道耦合的Ge.Si价带顶附近能带示意图图4-0),等能面是扭曲的，但可近似地用球面表示，即有为2“2为22和E=Ev(4-9)2叫式中，mh和mi分别是重空穴和轻空穴的有效质量。若用NV(E)表示价带顶附近的状态密度，则其应为两个能带所引起的状态密度之和。利用与前面类似的推导方法，容易得到NjE)J兀Qiy2(E1E)i2+坦普It(Ey_e产(4-10)若令，m=m+m,相协称价带空穴状态密度有效质量，则（4-10）可简ztr4(2m,)3/2(4-11)化为NV(E)=鲁一(Ev-E)h图4-1画出了状态密度与能量的关系曲线。表4-1列出了在4K温度下，Si和Ge的

7、状态密度有效质量。图4-1状态密度与能量的关系SiGeIDdn1.08m0.56mIHdp0.59m0.37m表4-1Si,Ge状态密度有效质量（4K）m为电子惯性质量*自旋轨道耦合：也称自旋轨道相互作用，是指粒子的自旋与轨道动量相互作用引起的轨道能级产生细小劈裂的一种现象。4-2费米分布函数和费米能级电子在能态中的分布属于量子统计问题，服从量子统计规律。从大量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子按能量的大小具有一定的统计分布规律性，或者说电子在不同能量的电子态上的统计分布几率是一定的。根据量子统计理论,服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律，即能量为E的一个量子态被电子占据的几率为式中，/（

8、右）称电子的费米分布函数，KO是玻耳兹曼常数，T为绝对温度。Ef称费米能级，它与温度、半导体材料的导电类型、杂质含量以及能量零点的选取有关。Ef是一个很重要的物理参数，在一定的温度下，只要确定了Ef,电子在各能态上的统计分布就完全确定了。（在固体物理学中，一个由无相互作用的费米子组成的系统的费米能级（Ef）表示在该系统中加入一个粒子引起的基态能量的最小可能增量。费米能级亦可等价定义为在绝对零度时，处于基态的费米子系统的化学势，或上述系统中处于基态的单个费米子的最高能量。费米能级是凝聚态物理学的核心概念之一。虽然严格来说，费米能级是指费米子系统在趋于绝对零度时的化学势；但是在半导体物理和电子学领

9、域中，费米能级则经常被当作电子或空穴化学势的代名词。费米能级以提出此概念的美籍意大利裔物理学家恩里科费米(EnricoFermi)的名字命名。)一.费米分布函数的性质1 .当温度T=OK时，若EEf,则f(E)=O。即在T=OK时，能量比Ef小的量子态被电子占据的几率为100%,而能量比Ef大的能态则占据几率为0。故在绝对温度零度时，费米能级是量子态是否被电子占据的界限。2 .当TOK时，若E12,若E=Ef,则f(E)=12,若EEf,则f(E)(1/2o即在T0时，能量比Ef小的量子态被电子占据的几率50%,反之，则小于50%,而能量等于Ef时，则其被占据的几率为50%。作为一个例子，看一

10、下能量比费米能级高和低5K0T的情况。当E-Ef5K0T时,f(E)0.993o可见，大5KoT的能态，几乎被空着，而小5KoT的能态，几乎被占据。一般可以认为，在温度不是很高时，能量大于费米能级的量子态基本上没有电子占据，而小于费米能级的量子态基本上被占据，且电子占据Ef能级的几率在任何温度下总为1/2。所以费米能级的位置比较直观地标志了电子占据量子态的情况。费米能级的位置越高，说明有越多的高能量子态被电子占据。二.玻耳兹曼分布函数(E-E、在(4-12)式中，当E-EfAKoT时，由于exp11,从而有J(E-E、(E-E1+expexp,此时，费米分布函数转化为IKoT)KoTE-EfE

11、fE人Ef11%（石）=exp（-=eP（焉XP（一赤），令：A=exp（白），贝U（4-13）(4-13)式即为玻耳兹曼(统计)分布函数。这表明，在-号KT的条件下，泡利原理失去作用，费米统计律与玻耳兹曼统计律一致。三.空穴占据几率f(E)表示能量为E的能态被电子占据的几率，因而1-f(E)就是E被空着的几率，用在价带上，就是E被空穴占据的几率。从而有空穴的占据几率1-以E)=-(4-14)exp(f)+1Ef当石EKT时，上式分母中的1可略去，若设B=exp(乙)，则有KoTF1-/()=BeXP(O)(4-15)KO1上式称空穴的玻耳兹曼分布函数。它表明，当E远小于Ef时，空穴占据E的几

12、率很小。在半导体中最常见的情况是Ef位于禁带中，而且与导带底或价带顶的距离远大于KoT。因此，导带电子分布和价带空穴分布一般情况下均可用玻耳兹曼分布函数描述。通常把电子和空穴分布服从玻耳兹曼统计律的半导体称非简并半导体，而把服从费米统计律的半导体称简并半导体。4-3导带电子密度和价带空穴密度一.导带电子密度。利用导带的状态密度NC(E)和电子的分布函数f(E),可直接得到单位体积中能量在EE+dE范围内导带的电子数n(E)dE为n(E)dE=NC(E)f(E)dE(4-16)要计算导带中的电子密度，只需对上式积分即可。由于f(E)随能量增加迅速减小，因而可把积分范围由导带底EC一直延伸到+,并

13、不会引起明显误差。于是，导带电子密度为Poon=fNC(E)f(E)dE(4-17)JEC在非简并情况下，将(4-6)和(4-13)式代入(4-17)式，可得n=4爪2：；产j；(E-E2exp(S*dE(4-18)K1cvJ1引入变量J=(E-纥)KT,则(4-18)式可改写为4(2加而KT)32h3由于积分手，从而有2(2叫KoT)S*h3Ec-Efexp(=ncWKo1EE,(4-19)式中，NC=2(2SzfOTr2称导带电子有效状态密度。h二.价带空穴密度。计算价带空穴密度的方法与计算导带电子的相同。单位体积内，能量在石石+小范围内的价带空穴数(石)d石为p(E)dE=N,(E)1f

14、(E)dE(4-20)积分上式可得价带空穴密度为77=fv(E)1-(E)jE(4-21)J-在非简并情况下，将(4-11)式和(4-15)式代入(4-21)式，得E-EP=Nvexp(4-22)VKoT式中，NV=2(2=?KOT)称价带空穴有效状态密度。h在分析载流子统计分布问题时，有效状态密度是一个很重要的物理量，由它可衡量能带中量子态的电子填充情况。表4-2列出了三种主要半导体在300K时的NC和NV值。表4-2导带和价带有效状态密度(300K)SiGeGaAsNc(cm-3)2.8010191.04IO194.701017NV(Cnr3)1.04IO196.0010187.001018三.载流子密度积叩。在一定温度下，同一种半导体材料由于杂质含量和种类不同，费米能级的位置也是不同的。因此，电子和空穴的密度可以有很大的差别。但是，如果将(4-19)和(4-22)式相乘,则有E八一E、式中，Eg=EC-EV为半导体的禁带宽度。上式表明，载流子密度之积与费米能级无关，只依赖于温度和材料本身的性质。（4-23）式是一个常用的重要公式。4-4本征半导体一.本征半导体及其电中性条件。所谓本征半导体就是完全没有杂质与缺陷的完整半导体。本征半导体的能级分布特别简单，只有导带与价带能级，没有与杂质和缺陷相关的能级。当绝对温度为零（OK）