第二章 晶格振动和晶格缺陷（已校对）.docx

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1、第二章晶格振动和晶格缺陷在上一章中，我们把组成晶体的原子或离子看成是固定不动的，都处在其平衡位置上。实际晶体中的原子却是不停地在其平衡位置附近做热振动的，并且随着温度的升高，振动会不断加剧。这种热振动也称晶格振动，它会破坏晶格的周期性，在晶格中造成缺陷，从而对半导体的性质产生重要影响。实际三维晶体中原子的振动现象很复杂，在这里我们只分析一维晶体(单原子和双原子链)的振动，然后将所得到的规律和结论推广到三维晶体中。2-1一维均匀线的振动为研究一维原子链的振动，首先复习一下一维均匀线中弹性波(纵波)的传播现象。设均匀线的质量密度为P,弹性模量为K,又设线上每一点只能沿线本身的方向(纵向)运动，如图

2、2-1所示。啜*碟X山X+X图2T均匀线上的弹性力若在线元Ar上施加一作用力，它将引起X点的纵向位移u(x)o此时在X处的相对伸长(即形变)为()=包，在+&处的形变则为xe(x+x)=e(x)+-x根据胡克定律(HOOks1aw),此时在线元Ax上的作x1用力为o2此作用力还可表示为线元质量的乘上加速度M,即(2-1)(2-2)Fk-Ke(x+x)-e(x)=K2uP相从而有2UK2U2x2-Ut2pSx2式中，U=A是弹性波的传播速度（声波速度），与振动频率无关。（2-3）式称线性振动方程，其解为具有如下形式的简谐波u（x,O=Aeiqx-t）（2-4）r）TT1式中,A为振幅，=2m为角

3、频率，为振动频率，qf为波矢（波数V2）0由于波速u=2v,从而有=2v=2如I=q（2-5）即与波矢q成正比。q的绝对值可取08,因而振动频率也可取08,且与q是一一对应的。（2-5）式也称波的色散关系。*胡克定律：是力学基本定律之一，适用于一切固体材料的弹性形变。它指出：在弹性限度内，物体的形变与引起形变的外力成正比。这个定律是英国科学家胡克提出的，所以叫做胡克定律。（罗伯特胡克，英国科学家，又译罗伯特虎克（RobertHooke,1635年7月18日1703年3月3日），英国博物学家，发明家。1635年7月18日生于英国怀特岛的弗雷斯沃特村，1703年3月3日卒于伦敦。在物理学研究方面，

4、他提出了描述材料弹性的基本定律-胡克定律，在机械制造方面，他设计制造了真空泵，显微镜和望远镜，并将自己用显微镜观察所得写成显微术一书，细胞一词即由他命名。在新技术发明方面，他发明的很多设备至今仍然在使用。除去科学技术，胡克还在城市设计和建筑方面有着重要的贡献。但由于与牛顿的争论导致他去世后少为人知。胡克也因其兴趣广泛，贡献重要而被某些科学史家称为“伦敦的莱奥纳多（达芬奇）”）2-2一维单原子链的振动晶体由周期性排列的原子构成。由于晶体微观结构的这种不连续性，使得晶体中原子的振动具有与连续媒质弹性振动不同的特点。由于原子之间的相互作用，在晶体中每个原子的振动并不是彼此孤立的，而是一个原子的振动要

5、依次传递给其他原子。晶体中的原子振动，总体而言，也是以波的形式在晶体中传播的。这种晶体中的原子振动波称格波。图2-2一维单原子链上的原子振动下面分析由质量为m、间距为a(晶格常数)的同种原子构成的一维单原子链的晶格振动。如图2-2所示，假设第n个原子的位移为小。如果这个原子偏离平衡位置不远，则其受到的相互作用力可认为是准弹性的，并与原子间距的变化成比例。因此，在忽略包括次近邻以外原子的作用后，n原子所受到的作用力Fn为n-1和n+1两个最近邻原子的作用力之和，即FrI=(un+1-un)-(un“I)=(un+1+un_r-2un)(2-6)式中，A称准弹性力常数且力=Ka,即K=,K为弹性模

6、量。于是，第n个原子的运动方程可写为(2-7)d1u=/(用+un-1-2许)该方程的解为简谐波un=Aei(qna-t)(2-8)将(2-8)代入(2-7)得-m2二eiqa+*加-2)=-2(1-cos)=-4sin2从而有m2=4ysin2(2-9)于是得。=2(2)2Sin丝=Sin敢(2-10)m22式中，叱1=25Mi2为最大振动角频率。(2/0)式即为一维单原子链的色散关系，也称频谱分布。从而一维单原子链中准弹性波的传播速度为.asm2=v=c-=(y0m)z22与波长有关。一维单原子链的格波(简谐波)具有以下性质:1 .所有原子都以相同的角频率和振幅网作简谐振动；2 .各原子之

7、间有一均匀变化的位相差。位相差的大小由原子之间的距离a和波长4=K决定。近邻原子间的位相差为时Q=也。；411X3.如果两个波矢夕和夕之间存在以下关系r)Trq=q+-1(/为任意整数)(2-12)a则相应于这两个波矢的格波所引起的原子振动是相同的。*因为，对于q格波，原子振动为2兀un=Aei(qT1)na-t=Aei(qna-t)e(i27m1)=Ae(iqna-C)1=Un(2-13)与波矢为q的格波所引起的原子的振动相同。因此，当q在2/a的范围内变化时，能够给出所有的独立格波。为了明确起见，通常限制-q-(2-14)aa波矢q的这一变化范围，称为第一布里渊区。格波之所以具有上述性质，

8、是因为晶体中的原子不是连续分布，而是周期排列的。由于q在-工和工之间取值，故aa当心ax=工时，相应的格波波长最小，为Anin=21=2。这个结果的物理意义amax是很清楚的。因为在晶格中不可能存在半波长比晶格常数a小的格波。图2-3中，r)jr777*，77回出了q=(2=6a)和q=(2=2a)的两个格波。而q=(2=67)的简6aa6a谐波与q=乎的格波相差生，但半波长小于a,故不属于格波。2-3一维双原子链的振动+1n+1-Omim2图2T维双原子链小意图如图2-4所示，假设在质量为mi和rn2的两种原子组成的晶格常数为a的一维晶体中，分别用序列号和标志第n个原胞中的mi和m2原子,用

9、心和；表示和/原子的位移，并认为相邻原子之间的准弹性力常数B相等，则可仿照一维单原子链情况，写出以下两种原子的运动方程=尸（或+：-j1=Ond(2-15)上述方程的解为un-A1i(qna-t)un=A2ei(qna-t)H=O,1,2,3(2-16)将(2-16)代入(2-15)得(2-m12)A1-(1+e-iqa)A2=0(1+eiqa)A1-(2-m22)A2=0(2-17)这是一个二元线性齐次联立方程组。若要A1和A2不同时为零，则其系数行列式必等于零。即(2-18)(2j3-m12)Q(Ua)=Q(1+eiqa)(2-m22)禾IJ用+eiqa=2cosq和1-cosq=2sin

10、2T,可得4COm1+/24/2.qa-2-+rSin-=Om1m2m1m22从而有+1-r2sin2G122.2qa1-rsm2(2-20)式中=2.叫+加2,U=4mM由（2-20）可知，每个q对应两个（负mim2（m1+m2）力无意义）。因此，在原胞中有两个原子的一维晶体中有两支振动波（格波），其中频率较高者与晶体的光学性质有关，通常称光学波。而频率较低者则与宏观弹性波（声波）有密切关系，通常称声学波。图2-5给出了一维双原子链振动频率与波矢之间的色散关系。下面讨论两种极端情况，即对波长最长和最短的格波进行讨论。1)对q=0和q=n/a有CO(0)CDq,CD1(1)=2-J1+Vi-V

11、2a2(0)=0，1(-)=a1-V1-2(2-21)-a2,TTT从而有例(0)=gG()g()g(0)=0(2-22)aa2)对无限长波长声学波，g(0)=0,从而由(2-16)和(2-17)式有(2-23)即此时两个原子的位移相同。这意味着无限长声学波中，两个原子的振动是同步的，并在任何时刻它们偏离平衡位置的方向相同，与弹性波类似，故称其为声学波。3）对无限长波长光学波，最大频率GI（O）=GO。根据（2-16）和（2-17）式有：3=4=_也（2-24）nA2mI因此，在无限长光学波中，同一原胞中的两个原子反向位移，位相相反，质量中心不动，即他册+小2/=0。如果原胞由两个符号不同的离

12、子组成，它们的反位相振动将导致原胞电偶极矩的变化，从而引起红外光的吸收和发射，故称其为光学波。4）对较长波长格波，即q较小时，有Sin敢敢，从而（2-20）式中的根2222号项可展成级数，结果对光学波有：（2-25）当q0时，光学波的相速度。/=a,而群速度乙=-r2a2q0.qdq16式中，3=2Kao上式表明，对于长声学波，振动频率正比于声速=a12二京=。且相速度与群速度均等于声速,即：4=Ug=。这意味着当q较小时，晶格原子的声学波对应于通常的声波，其传播速度等于晶体中的声速。5）对最短波长Xmin=2,=工的格波，光学波的振动频率最小，而声学波a的频率最大，分别为：外（工）=QB1/

13、V?=GImin和g（工）=QB1加2）?=2maaa*相速度：电磁波的相位传播速度，或者说是电磁波形状的向前变化速度。群速度：电磁波的包络（波包）的传播速度，或者说是电磁波的实际前进速度。在媒质中，相速度往往大于群速度。打个比方：当拿电钻在一堵坚硬的墙上钻孔时，你会觉得电钻头旋转时似乎在高速前进，但这只是你的错觉。因为你看到的是螺纹的“相速度”，虽然很快，但钻头向墙内的推进速度（相当于群速度）却很慢。如果墙非常硬，电钻根本钻不进去，钻的前进速度则为“0”，但是从螺纹上看总是觉得钻头是不断地向墙里去了。2-4玻恩卡门边界条件（周期性边界条件）*马克斯玻恩（Max.Born）,1882-1970

14、,德国理论物理学家，量子力学奠基人之一，1912年与西尔多.冯.卡门合作发表了“关于空间点阵的振动”的著名论文。西尔多.冯.卡门：匈牙利犹太人，1936年入美国籍，是20世纪最伟大的美国工程学家,开创了数学和基础科学在航空和航天和其他技术领域的应用，被誉为“航空航天时代的科学奇才”。他所在的加利福尼亚理工学院实验室后来成为美国国家航空和航天喷气实验室，我国著名科学家钱伟长、钱学森、郭永怀都是他的学生。前两节讨论了分布在无限长直线上的原子振动问题，得到的格波频谱分布是连续的。然而，实际晶体大小总是有限的。对有限晶体，边界附近的原子与内部原子所处的环境有所不同，晶体结构的周期性被破坏,这给分析问题带来了不便。为克服这一困难，玻恩和卡门提出了一种理想化的边界条件-玻恩-卡门边界条件。在该边界条件中，假定原子的运动具有以实际的有限晶体为周期的周期性。该条件虽然有一定的人为性，但对所讨论的问题一般影响不大（为什么？），可得到一些重要结论。下面用周期性边界条件讨论一维单原子链和双原子链问题。1）对于一维单原子链，设想其由N个相同的原子组成，这些原子以等间距a排列在一条长为1=Na的直线上。该原子链共有N个原胞，每个原胞中只有一个原子。周期性