概率论与数理统计第二章测验题答案.docx

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1、其次章测验题答案一.填空(共28分，每题4分)1 .投掷一枚匀称对称的硬币，以X表示正面消失的次数，则随机变量在区间(0.5, 1.5)取值的概率为0.5.解：随机变量X的分布律为X0IPk0.50.5所以P0.5 X 1.5 = PX = 1 = 0.52 .设随机变量JU(l,6),则方程_? +算+ = o,有实根的概率为4/5 .解：方程f+4 + l = 0有实根，则判别式 = 4o,则J2或者J-2,所以P方程有实根 = P = 2-40 = P( 2u -2)= P2-P-21 1 ，一 x 650,其它又由于随机变量看听从参数为(1,6)的匀称分布，所以其概率密度函数为I 1,

2、/(X)/x66-10,其它所以P肄2=力=瞟力=:P-2=2 f(t)dt=20dt = 0.J-X)J-oo4故 P方程有实根 = P 2 + P -2 = -.3 .设 Xb(2,p)I 仅 3,p),若 PXl = ,则刊丫 l=l927.解：由题意知随机变量X和Y分别听从参数为2和p、3和p的二项分布.544- = PX = -PX=Of 得到尸X=0 = 即C；)p(l )2=(l p)2=.,所以(l-p)=2,从而19272pyi = jpy = = Yp（i_）3 = i_（i- ）3 = 34.设X的概率密度函数为(x) =22”3,6,若 k 使得PXZ = -,则 k

3、的30,其它取值范围是1左3.=k解：此题用画图的方法来解：下图中红线即为(x)的图像.2329S2S1012 3 4 5 6其中S1表示由红线Cr) = J与X轴所夹部分的面积，即尸()X1二1；222S2表示红线幻=与x轴所夹部分面积，即P3X6 =-3 = -.而PXA即表示(x)图像与x轴所夹图形在直线x = A右侧的面积(绿色虚线所示2范围).由于PXA = = P3X6,所以k的取值范围只能在1和3之间，即k3.5 .设随机变量XN(1,4),则PlvX2=皿空_.(已知(0.5) = 0.6915.)解：由XN(1,4)可知，,=1,b = 2.首先进行正态分布的标准化，在查表计

4、算PX 2 = P1-1 X- 2-1-2 b 2= P0) = q(+)-bg(+) = -乩各选项+oo中仅有选项(A)符合这个条件.2.假如X的可能值布满区间A,B,那么sinx可以成为这个随机变量的密度函数.(此题有两个答案)(A) 0,0.5-(B) 0.5肛乃(C) 0,1(D)凡 1.5划解：X的可能值布满某区间a,b,即表示X落在这个区间以外的概率为()，密度函数在此区间以外就等于0.又由于盼望sinx为密度函数，则采用密度函数的性质+广+8ch(x)d = l来判定，BJ 1 = sinxdx = snxdx,通过对这四个选项的计算，发-J-Ja觉只有(A)、(B)满意这个条

5、件.C3 .设随机变量X的密度函数为/() = c,则c的值为B.(A)0(B)(C) - (D) 解：由PXc = PXc可知，正态曲线与x轴所夹部分在直线x = c两侧的面积相等，则x = c、即为曲线对称轴，所以c = 4.6 .设随机变量X的概率密度为/*),且(-x) = Q), b(x)是X的分布函数,则对任意实数0, F(-a) = B (A)l-(x)Jx (b)；-J； f(x)dx (C) F(c) (D) 2F(a)-l解：由(-x) = (x)可知，密度函数的曲线是关于y轴对称的，则由曲线与x周所围部分的面积及相互关系可知/(-。)=1-b(。)，F(-a)三,解答题(

6、请写明求解过程，共48分)1. (12分)已知连续型随机变量X的分布函数为0, x 一。F(x) = A + Barcsin ,4 x 0)al.x a求 A, B; (2)/(%).解：(1)采用分布函数的性质求其中的未知系数：由于X是连续型随机变量,所以其分布函数F(x)在整个实轴上是连续函数，即在x = -,x = 两个点均连续，因此有：ci7在工=一。点去左极限：lim F(x) = lim 0 = 0 = A + Barcsin =AB(-)-x(-)-a2在x = 4 点取右极限：lim F(x) = lim 1 = 1 = A+ Barcsin = A + Bx+.v+2所以解得

7、A = J,3 = L.2 0,x -a11xF(x) =一H arcsin,- 0.2 a,x a(2)对分布函数在各区间求x的导数得到，留意(x)的不连续点x = -和x =-对这两个间断点赋值为零即可，所以有1Ja2 -x20,其它2. (12分)已知X的密度函数为-ax 009x0求尸(x);(2)PX=l; PX1解：分别考虑x()两种状况:当x0时，F(x) = PXx= f(t)dt = O；J-oc当x0时,F(x) = PXx = X f(t)dt = je-,dt = 一，(二)(采用分部积分法)= -te, -etdt = -xexdt = -xex-det)=-xex-

8、et =廿-er + l = l-(x + 1)11 ( + l)e r Q所以尸(x) = 1),(留意此分布函数为连续函数.)0,x0(2)消失概率密度了，所以X肯定是连续型随机变量，所以单点处的概率为0.假如题目中只给出了分布函数，且分布函数为连续函数，则单点处的概率也为0,不用争论X是什么类型的随机变量。3 3) PXl = l-PX-1l = 2e,.3. (8分)已知连续型随机变量的密度函数为l-x,-lxl0,其它求(1)P 2XJM2) F(2).4l + x,-l x 0解：由题意得到 (x) = l-%,0xl0,其它(1) P-2 X 1,所以采用密度函数的性质可知：1

9、= f fxdx = f f(x)dx + 0 = f fxdx- Qdx- f 0dx = (x)tZx =F(2).J-J-lJ-lJ- JI J-co4. (5分)设X U(2,5),现对X进行3次独立观测，求至少两次观测值大于3的概率.(同时考察离散型随机变量和连续型随机变量)工25解：由于XU(2,5),所以X的密度函数为(x)=，设a表示大事0,其它“观测值大于3”,则P(A) = P观测值大于3 = PX 3 = f(x)dx =-dx = -.设随机变量Y表示观测到大事A发生的次数，由于一共进行三次独立观测，每次观测的观测值要么大于3,要么不大于3,所以是进行了三重伯努利试验，即Yb(3,p),2其中 p = P(A) = ,20所以欲求的 p(y2) = py = 2 + Py = 3 = Cp2(i-p)+*p3(i-p)0 = -5. (5分)设X听从参数为2 = 2的指数分布，求y = l-x的概率密度.