概率论与数理统计试卷及答案.docx

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1、华东理工高校2022 - 2022学年其次学期概率论与数理统计课程考试试卷A卷200开课学院：理学院，专业：大而积，考试形式：闭卷，所需时间：120分钟ke-20,x 0, y 0其他考生姓名：学号：班级：任课老师：题号一*四五六七总分得分评卷人一、（共12分）设二维随机变量（X,y）的概率密度函数为（1）求常数Z （3分）；（2） 求 PX 丫 （3 分）；（3）证明：X与y相互独立（6分）。解：(1) f f (x, y)dxdy = 1, 2J-OC J-81 ke-2ydxdy=t k = 2； 2(2) PXY = dx2e-2ydxdy1 1 2=1=3 3s、 F ( 、 y 2

2、e-x2ydy, fx (x) = Jo 10,x 0x0e- x00,x0,2(y)0,y0 =yQ6-2v, y00,y022由于/（再y） = fx（）f（y），所以x与y相互独立。二、（10分）某公司经销某种原料，依据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）听从（300, 500）上的匀称分布。每售出1吨该原料，公司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。问公司应当组织多少货源，可使平均收益最大？解：设公司组织货源。吨，此时的收益额为y （单位：千元），则y = g（x）,且i.5a,XaL5X-Q5(-X), X a1.5(2, Xa2X-0.5, X00,其他求z

3、 = x + y的概率密度9(z)o解一:(X, Y)的联合概率密度为(x,y) = f(x)g(y)=0,() x 0其他2,2,2,由卷积公式，(z) =(x)g(z -x)dx = 2xg(z - x)dx当 z0时，0(z) = O；当 0l时，(z) = 2xe-(z-x)dx = 2e-z, 2,0,z0即 (z) = 12(e-z +z-l), 0 1解二：F(z) = PX + yz=(x,y)dxdy2,x+yz当z0时,F(z) = JJ0dxdy = 0 , (z) = 0； 2,x+ vz当 0 1时,F(z) = dx 2xeydy = 2x(1 - 二一)dx =

4、2xdx - 2e: xexdx = 1 2e2,0(z) = F,(z) = 2ez, 0,z0即 9(z) =(2(ez+z 1), 0 1四.(10分)在产妇骨密度/g/cn?的讨论中，孕妇孕期介入补充钙制剂者作为试验组，孕期采纳传统膳食者作为对比组。其测定结果如下表所示，分组编号分组样本容量样本均值样本标准差1传统膳食者120. 8960. 0542补充钙制剂者111. 0540. 043若假设两组孕妇的骨密度都听从正态分布，试说明传统膳食和孕期补钙的产妇(1)骨密度总体的方差是否有明显差异？(本小题5分)(2)平均骨密度有无明显差异？(本小题5分)( = 0.05, R975(ll,

5、 10) = 3.66, R975(10,11) = 3.47 , r0975(21) = 2.08 )解：己知=12,元= 0.896, s； =0.054； /?2 =11, y = 1.054, s； =0.043；(1) H0 : b； = bHx. *2*2选取统计量产= ,在”0成立时，尸=号听从尸(11,10)，$2$2 0542经计算，F =-r = L577 1 | r / /(J”( 21) - -Z.Uo ， 2fl 15v v + o因此拒绝“0 ,即认为传统膳食和孕期补钙的产妇的骨密度总体的均值有2xoo是未知参数，(乂,乂2，乂)是来自4的一组样本，(1)求。的矩法

6、估量或，并考察瓦是否为。的无偏估量。(本小题5分)(2)求。的极大似然估量4,并考察4是否为。的无偏估量。(本小题7分)解：(1) E= Cx-dx = -x3 =- = f Jo 2 32 03因此 4w =-XVEm = -EX =- = 9所以此矩估量是。的无偏估量。2,3，01)演2)3)6(2)似然函数L(e) = rje(,) = Tr-=夕2In L() = h In 2 + V In . - 2 In , 1 = -0, ln, LlW d 。越小，L越大，故。=maxXJ = X()0,J的的分布函数为耳(x) =%2铲1,x0o 27Z2w,Oz2n0, 其他。=maxX.

7、的分布函数为b(z)=的(z)l = maxXJ 的密度函数为 (z) = nFl (z)mi (z)= ,El = rf(z)dz = z& = 22；。，故。不是。的无偏估量。2,六、填空题(共24分，每小题3分，共8小题)1 .设某地旅游者日消费额听从正态分布刈,。2),且标准差b = 12,今对该地旅游者的日平均消费额进行估量，为了能以95%的置信水平信任这种估量的误差肯定值小于3 (元)，则至少需要调查. 62人。(U =U975=L96)I22 .在一次试验中大事A发生的概率为p,把这个试验独立重复做两次。已知大事A至多发生一次的条件下，大事A至少发生一次的概率为1。则p = 1/

8、3 o273 .设大事 A, 5相互独立，且P(A) = P(3), P(AB) = -, P(A) = P(B),16则 P(A) = 0. 254 .某种体育彩票的奖金额J由摇奖打算，平均奖金额为20万，标准差为10万。若一年中要开出256个奖，为有95%的把握保证能够发放奖金，(用中心极限定理估量可知，)需要预备奖金总额5383. 2万。(1.645) = 0.95 )5 .设随机变量J的密度函数是p() =卜乂 x 06 .设随机变量X的概率密度为了(用=,用切比雪夫不等式估量0, x0PX-EX 21/1007 .将一枚硬币重复投掷n次,设金分别表示正面对上和反面对上的次数，则J与一

9、的相关系数为1.8.某人下午5： 00下班，他所积累的资料表明:到家时间5： 35-5： 395： 40-5： 445： 45-5： 495： 50-5： 54迟于5： 54乘地铁到家的概率0. 10. 250. 450. 150. 05乘汽车到家的概率0. 30. 350. 20. 10. 05某日他抛一枚硬币打算乘地铁还是乘汽车，结果他是5： 47到家的，则他是乘地铁回家的概率为 9/13八、选择题(共21分，每小题3分，共7小题)1.已知x, x2, , X6为来自总体XN(0,4)的一组样本。设 = (xl + x2 + x3)2 +(x4 + x5 + x6)2,且cy72分布，则c

10、= ( a)2已知随机变量X与y独立同分布，记U = X+2Y, V = X-2Y,贝JcovO,V) =A-1b iC. 3DXD. -3DX3.现把20个球队任意分成两组不同组内的概率为(每组io队)进行竞赛，则最强的两个队分在(D )A- 4.设随机变量4密度函数为*),则77 = 3J-1的密度函数p,Q)为(A )A、；P(*)B、3p(罟) C、p(3( + l) D、3p()5.设总体4(，1),(乂,乂2，乂3)是4的样本，则下列的无偏估量中最有效的估量为(D )I1|22()i=-X1-X2+-X3(B)2=-X-X2-X3(C) 3 =X1 +X2 +X3(。) =1X1 +12 +132363336 .对于任意两大事A和8,则下列结论正确的是(C )A.若AB = 0,则A, 8一定不独立；B.若A5w0,则A, 8一定独立；C.若AB0,则A, 8有可能独立；D.若AB = 0,则A, B一定独立7 .设随机变量J的概率密度为了。)，且/(-x) = (x),则对任意实数。，4的分(B ).布函数尸(x)满意aA. F(-6z) = l- f(x)dx ,0aB. F