概率论与数理统计 习题答案 第1章.docx

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1、第一章概率论的基本概念1.写出下列随机试验的样本空间.纪录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分).解S=%=OJ,100% 其中为小班人数.n同时掷三颗骰子，纪录三颗骰子点数之和;解:S=3,4,，18.生产产品直到得到10件正品为止，纪录生产产品的总件数;解：S=10, 11, 12,(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品，停止检查,纪录检查的结果.解:S=00, 100,0100,0101, 1010,0110,1100901115 1011, 1101, 11109 1111)9其中。表示次品，1

2、表示正品.(5)在单位圆内任意取一点，纪录它的坐标；解:S=(x, y)x2+y209 09 z0, x+y+z=l,其中. z 分别表示第一、二、三段的长度.2 .设A, B,C为三大事,用A,昆。的运算关系表示下列各大事.(1)A发生,3与。不发生；解 表示为：ABC 或 A(A3+A。或 A(3uC)(2)A,3都发生，pre不发生；解 表示为:48。或A5-A3C或48-C(3)4 B, C中至少有一个发生；解：表示为：A+3+C(4)A,民。都发生；解：表示为:ABC(5)A,B,C都不发生；解：表示为：ABCiS- (A+B+C)aUbUc(6)4民C中不多于一个发生；解：即人民。

3、中至少有两个同时不发生相当于了反BC,入。中至少有一个发生.故表示为：AB+BC+AC.(7)A, B, C中不多于三个发生；解：相当于：A瓦。中至少有一个发生.故表示为：4+豆+。或砺.(8)A, B, C中至少有二个发生.解:相当于:A民BC, AC中至少有一个发生.故表示为：AB+BC+AC.3 .设4 3是两大事且P(A)=06, P(3)=0.7.问：(1)在什么条件下尸(AB)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下尸(A5)取得最小值，最小值是多少？解:由于 P(A3)=P(A)+P-P(Au8),且P(A)P(3)尸(Au),所以当 AuB 时,P(Au3)=P(B), P

4、(A3)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6.当AjB=S时,P(A3)取到最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7-l=0.3.4 .设A,民。是三 大事，且P(A)=P=P(C)=14,P(A5)=P(3C)=0,尸(AC)=18求A,民C至少有一个发生的概率.解P(A,5。至少有一个发生)二尸(A+B+。=P()+P(B)+P(Q-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(BC)=(3/4)-(1/8)+0=5/8.5 .在一标准英语字典中有55个由两个不同的字母所组成的单词，若从26个英文字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？解：记A表“能排成上述单词:

5、由于从26个任选两个来排列，排法有其6种.每种排法等可能.字典中的二个不同字母组成的单词:55个，所以尸素=焉6 .在房间里有10人.分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人纪录其纪念章的号码.(1)求最小的号码为5的概率；解：记“三人纪念章的最小号码为5”为大事4由于10人中任选3人为一组：选法有任。种，且每种选法等可能.又大事A相当于：有一人号码为5,其余2人号码大于5.这种组合的种数有lxC?.所以a 人、1C 1P(A)=K=5Ho 1乙求最大的号码为5的概率.解：记“三人中最大的号码为5”为大事民同上，10人中任选3人，选法有品)种，且每种选法等可能，又大事8相当于：有一人号码为5,

6、其余2人号码小于5,选法有1xCJ种，所以p(B)=1I=-!-C13o 20-漆4桶,7 .某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶红漆3桶.在搬运中全部标签脱落，交货人随便将这些标签发给顾客，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，能按所订颜色如数得到定货的概率是多少？解：记所求大事为A.在17桶中任取9桶的取法有品种，且每种取法等可能.取得4白3黑2红的取法有CxC；xC；,故一 C1672431-8 .在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个.(1)求恰有90个次品的概率；解：用A表示取出的产品恰有90个次品.在1500个产品中任取200个，取法有。制种，每

7、种取法等可能.200个产品恰有90个次品，取法有/jC股种.因此厂 0110n -00vz1100广一网)一 L500(2)至少有2个次品的概率.解：用3表示至少有2个次品.瓦表示不含有次品，田表示只含有一个次品.同上，200个产品不含次品，取法有倒种,01 0199 1/2005。()510。于 5100200J500200个产品含一个次品，取法有CooG品种由于B=B,+Bi且B互不相容，所以P(B)= 1 P( B)=l-P(B0)+P(B) = 19 .从5双不同鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？解：样本空间所含色样本点数为品p用A表示4只全中至少有2支配成一

8、对，则4表示4只全不配对.4所包含的样本点数为Rx24（先从5双鞋中任取4双，再从每双中任取一只）.因此_ c424 8P(A)=-1 j 491941P(A)=1P(.)=l条=枭10 .在11张卡片上分别写上Probability这个字母，从中任意连抽7张 求其排列结果为Abitity的概率.解：全部可能的排列构成样本空间，其中包含的样本点数为印.用A表示正确的排列，则A包含的样本点数为c1,qqc1,c1,c1,c1,=49 则=0.0000024.11 .将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3.解：记A表示杯中球的最大个数为，个(i=l, 2, 3).三只

9、球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能.对4：必需三球放入三杯中，每杯只放一球.放法4X3X2种.故P(A)=432 64316,对4：必需三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球.放法有C；x4x3种.故P(4)=Cx4x3_94316对A3：必需三球都放入一杯中.放法有4种.P(A)=W=i4 1612 .将50只例P钉随机地取来用在10个部件，其中有3个钏钉强度太弱，每个部件用3只钢钉，若将三个强度太弱的钢钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解：记A表示10个部件中有一个部件强度太弱.把随机试验右看作是用三个钉一组，三个钉一组去引完10个部件(

10、在三个钉的一组中不分先后次序.但10组钉佛完10个部件要分先后次序)对E枷法有Gox/x，x3种，每种装法等可能.对A:三个次钉必需佛在一个部件上.这种伽法数为(0.59 P(CA5)=O.4,所以P( CAB)= 1 -P( CAB)= 1 -0.4=0.6.P(A3)=P(A)P(3A)=0.6x05=03,所求概率为P(AB O=P(AB)P( CAB)=0.30.6=0.18.17 .已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列大事的概率：(1)两只都是正品；(2)二只都是次品(记为大事B)；(3)一只是正品，一只是次品(记为大事C)；(4)其次次取

11、出的是次品(记为大事D)；解：设4=第，次取出的是正品)gl,2). P(A4)=P(A)P(4A)=备5=含(2)P()=m)A)=(3) P(AAuA)=P(AA)+AA)=P(Ai)P(A2Al)+P(Al)P(A2Ai) =Ax j+Ax=l.(4)P()=p(4+A)=p(A)pO2A)+p(A)P(围 A)=441U y 1V J7 J18 .某人遗忘了电话号码的最终一个数字，因而他随机地拨号，(1)求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率；(2)若已知最终一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设A=第i次拨号拨对(i=l, 2, 3), A=拨号不超过3次而拨通,贝JA=A+A4+4HA,e三郎状况互下，所%p(A)=p(A)+p(A)P