专题06 函数的性质及应用大题综合（精选30题）（解析版）.docx

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1、专题06函数的性质及应用大题综合(精选30题)考点归纳1 .函数的概念设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系了,使对于集合A中的任意一个数X,在集合8中都有唯一确定的数/(x)和它对应，那么就称X4为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(xxeA,其中，X叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的定义域;与X值相对应的叫做y值叫做函数值，函数值的集合(6xA加做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。2 .区间的概念定义符号数轴表示xaxabX67X6f3)AAaxx(8,ai_axxa(8,a)AAaR(8,+)3 .函数的三要素(定义域、值域、对应关系)在y=(x)中，X叫做自变量，X

2、的取值范围A叫做函数的定义域，y仍然叫做函数值，y的取值范围叫做值域。其中/表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。4 .函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值X1,X2当箱小时，都有/(1)(X2),那么就说函数/(x)在区间。上是减函数图象描述)的)-op5自左向右看图象是上升的J(),.M。尸*F自左向右看图象是下降的(2)单调区司的定义如果函数y=G)在区间。上是增函教或减函投，那么就说函数y=(x)在这区间具有(严格的)单调性,

3、区间Q叫做y=f(x)的单调区间.(3)函数的最值前提设函数y=G)的定义域为/,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x,都有/(x)WM;(2)存在m,使得/(&)=M(3)对于任意的x,都有/(x)2M;(4)存在xq,使得八刖)二M结论M为最大值M为最小值5 .单调性的常见运算(1)单调性的运算增函数(/)+增函数(/)=增函数/减函数(、)+减函数()=减函数，0)为/，则一/(元)为为/U)增函数(/)一减函数()=增函数/减函数()一增函数(/)=减函数、增函数(/)+减函数()=未知(导数)(2)复合函数的单调性函婀(X)=(g(),设=g(),叫做内函数，贝/=M叫做外函数,

4、内函数T,内函数J,内函数T,内函数J,外函数T,二复合函数T外函数J,二复合函数TiF11目)成外函数J,=复合函数1结论：问增异减外函数T,n复合函数J6 .奇偶性具有奇偶性的函数定义域关于原点对称(大前提)奇偶性的定义:奇函数：/(-x)=-(x),图象关于原点对称偶函数：/(-)=(),图象关于y轴对称奇偶性的运算f(x)偶函数g(z)偶函数/(x)+g(x)偶函数f(y)-g(y)偶函数/(x)g(x)偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数7 .周期性(差为常数有周期)(拓展)若+4)=(x),

5、则f(x)的周期为：T=4Z若+4)=(x+b),则/G)的周期为：T=a-t若f(x+)=-),则F(X)的周期为：T=2a(周期扩倍问题)若F(x+)=Jr,则/(x)的周期为：=2a(周期扩倍问题)/W8 .对称性(和为常数有对称轴)(拓展)轴对称若/(x+)=(-x),则/(x)的对称轴为x=若f(x+a)=f(-x+b),则/(x)的对称轴为%=早点对称/若/(x+)=-f(-x),则f(x)的对称中心为-,O、2若/(x+)+(-x+b)=c,则/(1)的对称中心为(学，9 .周期性对称性综合问题(拓展)若/(+X)=/(%)，/(Z?+x)=f(b-xi其中0h,则/(x)的周期

6、为：丁=斗。一4若f(+x)=-(a-X),f(b+x)=-f(b-x)f其中8,则/(x)的周期为：T=2a-t若/(+x)=(x),f(b+x)=-f(b-x),其中?,则f(x)的周期为：T=4a-t10 .奇偶性对称性综合问题(拓展)已知/(x)为偶函数，Fer+)为奇函数，则/G)的周期为：T=4a已知/(x)为奇函数，/(x+)为偶函数，则了的周期为：T=4a真题训练一、解答题1. (2324上.赣州期中)已知/(x)=x3+(2-1)x2+(-2)x+z?为奇函数.求机，的值；(2)试判断f(x)在(1,M)上的单调性，并用定义证明.【答案】(1)m=1，=0/(可在(1,+)上

7、单调递增，证明见解析【分析】(1)由函数/(X)定义域为R且满足/(T)=一/(力即可求出m=1,/1=0：(2)利用单调性的定义，按照取值、作差、变形定号、下结论等步骤证明即可.【详解】(1)易知函数f(x)的定义域为R，因为/(x)为奇函数，所以0)=0,得=0由/(T)=一/(力，可得机一1=0,解得相=1.此时/(x)=x3-2x,经检验满足f(-x)=-x+2x=-f(x),所以可得帆=1,=0；(2)力在(1)上单调递增理由如卜丁由(1)得/(x)=x3-2x,任取X1,贝IJf(A11)-/(3=M-2*-E+22=(x1-x2)(xi2+X1X2+2)-2(1-X2)=(x1-

8、x2)(xf+x1+-2)因为玉工21，所以为一0，%；1，考1,苦421，所以X；+XX2+考一20,所以/(5)-/(毛)。，即/(%)/(工2)，故/(力在(1,钙)上单调递增.2. (2324上.宜昌期中)已知函数力=若，(1)判断了(x)的奇偶性并予以证明；(2)若函数“力的定义域为(T1),且满足1-，)+/(1-27)0,求实数，的取值范围.【答案】(1)奇函数，证明见解析【分析】(1)由题知“力定义域为R，判断-力与-/(力是否相等即可证明.(2)根据f(x)在(TI)上的奇偶性，单调性，化简整理/。-2)+1-26)0即可求出机的取值范围.【详解】(1)由题知/(X)定义域为

9、R,因为f()=Wi=M=-(*),所以“X)为奇函数.(2) /(可为奇函数，(-)=-U),(1-w)+(1-2w)rjfft1(1-w)-(1-2n)=(27w-1).3x-1,2f(x)在(一1,1)上单调递增，则由/(1一利)1时，/(x)0.求“0)，/(T)，1)的值;(2)已知/(同在R上单调递增，则是否存在实数小使得不等式/(/-+1)4成立?若存在求出实数公若不存在，请说明理由.【答案】/(。)=一2；/(T)=T;/(1)=0：存在，-v2【分析】(1)利用赋值法直接求值即可；(2)根据题意将原不等式化简，结合已知条件转化为/-+2=f(1)+/(2)=2,解得/(3)=

10、4,所以f(j+)4=/，又因为/(同在R上单调递增，所以/_a+3,即Q2_2=(。_2)(+1)0,解得-v2,所以存在满足题意的实数叫且TVaV24. (2324省直辖县级单位模拟预测)某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产X万件电子芯片需要投入的流动成本为了(力(单位：万元)，当年产量不超过14万件时，/(x)=x4x;当年产量超过14万件时，/(x)=17x+-80.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.(1)写出年利润g(x)(万元)关

11、于年产量X(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入一固定成本一流动成本)(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？-Y+12x-30,0,14,【答案】g()=(2)当0x14时，(x)=x2+I2x-30,且当0WxW9时，g(x)单调递增，当9vx14时，g(x)单40050-X,14X35.、X(2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片【分析】(I)分0Wx14和14x35两种情况，分别求出函数解析式；(2)结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】(1)根据题意得，当0x14时，g(x)=16x-(x)-30=-X

12、2+12x-30,当14vx35时，(x)=16x-(x)-30=50-,炉+12x-30,0X14,故g(x)=1340050-Xi,1410,故当X=9时，g(为取得最大值24,即为使公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片.5. (2324上.滨州.阶段练习)已知定义在R上的函数Fa)满足f(x+y)=f(x)+y)+2,且当x0时,W-2.(1)求/(O)的值，并证明/(x)+2为奇函数；(2)求证f(x)在R上是增函数；若1)=2,解关于X的不等式/(f+x)+(J2x)8.【答案】(1)f(0)=-2,证明见解析(2)证明见解析小2【分析】(1)赋值法；(2)结合增函数的定义，构造f)=(-2)+j即可；(3)运用题干的等式，求出f(3)=10,结合(2)的单调性即可.【详解】(1)令=y=O,得/(0)=-2./(x)+2+(-x)+2