数的整除特征.docx

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1、数的整除特征学问概要数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2整除数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的数能被2整除。2、能被5整除的数的特征：个位数字是。和5的数能被5整除。3、能被3 (或9)整除的数的特征：各位数字和能被3 (或9)整除。这个数能被3 (或9)整除。4、能被4 (或25)整除的数的特征：末两位数能被4 (或25)整除。5、能被8 (或125)整除的数的特征：末三位数能被8 (或125)整除。6、能被7 (或11或13)整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大减小)能被7 (或11或13)整除八7、能被11整除的数的特征：奇数位

2、数字和与偶数位数字和的差(大减小)能被11整除。例题解评例1、假如六位数12x4()y能被72整除，试求此六位数。思路点拨：由于六位数12x40y是72的倍数，且72=9x8 ,所以12x40y既是8的倍数乂是9的倍数。据能被8整除的数的特征，知40y是8的倍数。(1)当y=0时，依据l+2 + x+4是9的倍数，且0gxW9可得x=2(2)当y=8时，依据l+2 + x+4+8是9的倍数，且0x9可得x=3所以所求的六位数是12240()或123408。例2、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A ,试求出A。思路点拨：设这个四位数为abed,则abcd=1000xa+

3、l00xb+10xc+d,它的各位数字之和为a+b+c + d。于是有：abed- (abcd)=l()()()a + l()()b + l()cd一 (a+b+c+d)=999a+99b+9c=9 (llla+llb+c).这表明“一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差肯定是9的倍数，”由已知这个差等于603A ,由此就可求出A来。即：一个自然数减去它的各位数字之和后，所得之差肯定是9的倍数，所以是9的倍数。依据能被9整除的数的特征，6+0+3 + A=9 + A应是9的倍数，可见0可取。或9。例3、假如六位数()5993()能被33整除，这个六位数是和。思路点拨：由于33=3x11,所

4、以这个六位数能被3整除，有能被11整除。一个数各位各位数字之和能被3整除，这个数能被3整除；一个数奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除。综合考虑上面两条，可知这个六位数是：154935, 454938答：这个六位数是154935、454938 o例4、假如六位数1992能被105整除，那么，它的最终两位数是几？思路点拨：我们可以换一个思维方式，由于该数介于99200199299之间。设该数位199299,而199299+105=18989,所以199299-9=199290能被105整除,可见最终两位数是90。例5、在口内填上合适的数，使六位数1998能被5

5、6整除。思路点拨：由于56可以分解成7与8的成果，所以，要使能被56整除，就应让它能分别被7和8整除。先考虑它怎样才能被8整除：一个数的末三位数能被8整除。这个数就能被8整除。经推算，这个六位数的个位应填4, 984:8=123。在考虑它怎样才能被7整除，要解答这个问题是比较难的，应当用能被7整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除。这个多位数就能被7整除。抓住这一线索，可以推算出它的首位应填 3： 319984o 984-319=665, 6657=95o如何确定的首位填什么数字才能被7整除，还有一个特别奇妙，且适合我们学校生理解和运用的方法“倒着除”。“倒着除”就

6、是从低位往高位除，便可确定它的最高位上应填几了。“倒着除”可借助除法数式来完成，详细推算过程如右图：由此可知，它的首位上应填“3”。这个能被56整除的六位数为：319984o巩固练习1、四位数3AA1能被9整除，A是几？2、四位数841 口能被2和3整除，口中应填几？这个四位数是多少？3、在25口79这个数的口内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填几？4、45ab这个四位数，同时能被2, 3, 4, 5, 9整除，则此四位数是儿？5、四位数87AB既能被9整除，又是25的倍数，那么A是几？ B是几？、6、将一个四位数减去其各位数字之和仍得一个四位数19口2,那么口应填什么？7、假如六

7、位数2004 口口能被79整除，那么，它的最终两位数是多少？派8、在方框中各填一个数字，使六位数11口口11能被17和19整除，那么方框中的两位数是几？学问要点：1.整除约数和倍数例如：153=5, 637=9一般地，如a、b、c为整数，b0,且b=c,即整数a除以整除b （b不等于0）,除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）,我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）o记作b a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）,记作b*a。假如整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

8、2.数的整除性质性质1：假如a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：假如cl a, cl b,那么 cl （ab）o 例如：假如 2 I 10, 2 I 6,那么 2 I （10+6）,并且 2 I （106）。性质2：假如b与c的积能整除a,那么b与c都能整除ao即：假如be I a,那么b I a, c Ia。性质3：假如b、c都能整除a,且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：假如bl a,c I a,且（be） =1,那么 be I a。例如:假如 2 I 28, 7 I 28,且（2, 7） =1,那么（27） I28 o性质4：假如c能整除b, b能整除a,那么c能

9、整除a。即：假如c I b, b I a,那么c I a。例如:假如3 I 9, 9 I 27,那么3 I 27o3.数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括（）.下面“特征”含义相像。能被5整除的数的特征：个位是。或5。能被3 （或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3 （或9）整除。能被4 （或25）整除的数的特征：末两位数能被4 （或25）整除。例如：1864=1800+64,由于100是4与25的倍数，所以1800是4与2

10、5的倍数。又由于4 164,所以1864能被4整除。但由于25%64,所以1864不能被25整除。能被8 （或125）整除的数的特征：末三位数能被8 （或125）整除。例如：29375 = 29000+375,由于1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。又由于125 1375,所以29375能被125整除。但由于8%375,所以8%29375。能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例如：推断123456789这九位数能否被11整除？再例如：推断13574是否是11的倍数？解:这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数

11、字和的差是：（4+5+1） - （7+3） =0。由于0是任何整数的倍数，所以11 10。因此13574是11的倍数。能被7 （11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数马末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7 （11或13）整除。例如：推断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数。由于1059-282=777,又7 I 777,所以7 I1059282o因此1059282是7的倍数。再例如:推断3546725能否被13整除？解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数。由于 3546-725=282l.Mft! 2821 分为

12、2 和 821两个数，由于 821 2 = 819,又 13 I 819,所以 13 I 2821,进而 13 I 3546725。拓展：判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与前面隔出数的3倍的差（大减小）是否被17整除。判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否被19整除。判定一个数可否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被23或29整除。例1.在口里填上合适的数，使五位数267能被4整除，也能被3整除。解答：共有7种可能:个位222666百位1470369例2

13、.在内填上的数，使口895口这个数能被72整除。解答：8、9的倍数，末三位被8整除，个位2,各位数字和被9整除，万位3.。38952o例3.七位数22A333A是6的倍数，那么A是多少？解答：此数是6的倍数，要同时符合被2、3整除的数的特点，A=4o例4.在里填上适当的数，使6位数865能被3、4、5整除，而且使这个数尽可能地小。解答：符合条件的数能被5整除，后两位能背4整除，个位肯定是0；各个数位数字和能被3整除，此数最小是865020。例5.在内填上合适的数，使5位数736能被5整除，也能被9整除。解答：7236076365例5.在口内填上合适的数字，使5位数5口13口能被9整除。解答：5

14、0130、50139、51138、52137 53136、54135、55134、56133 57132、58131、59130、 59139.例6. 368是一个四位数，这个数同时能被2、3、5、9整除，那么这个数是。解答：3600、3690-例7. 一个无重复数字的五位数3口6口5能被75整除。这样的五位数有哪几个？解答:末两位25： 38625； 末两位75： 30675或39675。例8.有一个六位数能被11整除，首位是7,其余各位数字各不相同，这个六位数最小是多少？解答：要使六位数最小，必需把最小数0, 1, 2, 3, 4,排列在7的后面，这样可得到数701234,可是这个数不能被

15、11整除，为了求得最小的六位数，先要修改个位数4,经试算，把4改成9正好符合题意，所以最小的六位数是701239。答：所求的最小的六位数是701239。例9.求被26整除的六位数口1993口。解答：由于26 = 2x13,所以所求六位数口1993口应分别被2和13整除。被2整除的数个位只能是0, 2, 4, 6, 8；所求六位数被13整除，必有口19与93口的差(93-19)是13的倍数。(1)当原数个位为0时，930=7113+7,故口19也应满意被13除余7。 19=100+13+6=713+9+13+6=13 (7 1) +96即 9 + 6=13K + 79乂口-1应是13的倍数，故口只能是3。即六位数为319930。(2)当原数个位数为2时，932=7113+9,故口19也应满意被13除余9。由于口 19= (71) 13969