概率论中几种具有可加性的分布及其关系汇总.docx

《概率论中几种具有可加性的分布及其关系汇总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论中几种具有可加性的分布及其关系汇总.docx（14页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、目录摘要1关键词1Abstract1Keywords1引言11几种常见的具有可加性的分布11.1 二项分布21.2 泊松分布（PoSSion分布）31.3 正态分布41.4 伽玛分布61.5 柯西分布716卡方分布72具有可加性的概率分布间的关系82.1 二项分布的泊松近似82.2 二项分布的正态近似92.3 正态分布与泊松分布间的关系102.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系113小结12参考文献12致谢13概率论中几种具有可加性的分布及其关系摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布

2、结合其特点，这里给出概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论关键词概率分布可加性相互独立特征函数Severa1KindsofProbabi1ityDstributionanditsRe1ationshipwithAdditiveAbstractProbabi1ityandmathematica1statisticsint

3、heprobabi1itydistributionofadditivityisaveryimportantcontent.Thedistributionoftheso-ca11edadditivityreferstothedistributionofthesamekindofindependentrandomvariab1esanddistributionaresti11be1ongtothiskindofdistribution.Combinedwithitscharacteristics,heregivensevera1hasadditivitydistributioninprobabi1

4、itytheory:thebinomia1distribution,poissondistributionandnorma1distributionandcauchydistribution,chi-squaredistributionandgammadistribtion.Artic1ediscussesthenatureofa11kindsofdistributionanditsproofofadditivity,additiveofproofdistributionarea1sogiventwomethods,name1yusingconvo1utionformu1aandcharact

5、eristicfunctionofarandomvariab1e.Inaddition1thispaperthere1ationshipsbetweentheadditivepropertydistribution,suchasthebinomia1distributionofpoissonapproximation,Dimo-1ap1acescentra11imittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferent1eve1sofdiscussion.KeyWordsprobabi1itydistributionadditivitypropertymutua1i

6、ndependencecharacteristicfunction引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等.1几种常见的具有可加性的分布在讨论概率分布的可加性之前，

7、我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数首先来看卷积公式：离散场合的卷积公式设离散型随机变量/彼此独立，且它们的分布列分别是P（二k）二ak,k=0,1.,n和P（二k）二bk,k=0,1,.,n.则二二的概率分布列可表示PC：二k)八P(y)P(Zk-i)八ad,k=0,1,2.连续场合的卷积公式设连续型随机变量,彼此独立，且它们的密度函数分别是f(),f(y),则它们的和一，的密度函数如下f、：(z)=ff=_f(x)f(z-x)dx.其证明如下：的分布函数是F(z)=f(z)=f(X)f(y)dxdy(y)dy,(x)dxx)f(x)dx.其中F(X)为的分布函数，对上式两端进行求导，

8、则可得到-=的密度函数:即定.-bef(z)=ff=f(x)f(z-x)dx.80S在概率分布可加性的证明中，除了卷积公式，我们常用的证明方法还有利用随机变量的特征函数.下面我们来讨论一下这几种具有可加性的分布及其可加性证明的过程中卷积公式和特征函数的应用.1.1 二项分布1.1.1 二项分布B(QP)的概念如果记为n次伯努利试验中成功(记为事件A)的次数，贝J.的可能取值为0,1,2,n.记P为事件A发生的概率，贝UP(A)=P,p(入)=1-p,记为q.即q=1p因n次伯努利试验的基本结果可以记作？=(W1W2,?n),Wi或为A或为A,这样的W共有2。个，这件个样本点W组成了样本空间Q.

9、下求的分布列，即求事件二k的概率.若某个样本点？=(W,W2,?n)二k),意味着W1W2,？n中有k个A,n-k个A,由独立性即可得:P()=p(1-P)。：而事件=k中这样的W共有个,所以匚的分布列为P(=k)二p(1-p)I,k=0,1,.此分布即称为二项分布，记作B(n,p).且我们易验证其和恒为1.也就是n=1时，二项分布B(n,p)称为两点分布，有时也称之为0-1分布.二项分布的图像具有以下特点：二项分布的图像形状取决于n和P的大小，随着P的增加，分布图高峰逐渐右移.当p=0.5时，图像是对称的.1.1.2 二项分布的可加性定理1.1.1设B(n,p)B(m,p),而且/相互独立，

10、记一,则有二B(nm,p).证明因一,所以易知二可以取0,12.nm等n-m1个值.根据卷积公式(1),事件小?的概率可以表示为kPC：二k)八P(=i)P(二k-i)i-IIP(1p)kh二pJ1.n)皿m-k-7-(1 =0zJ3JkBzRm又因一所以i=。Ik)八PC：二k)二i(1p)c，k=0,1,n+m.也就是说，二B(n-m,p).即证！1.2泊松分布(Possion分布)与二项分布一样，泊松分布也是一种离散分布，许多随机现象，特别是社会现象与物理学中的一些随机现象都服从于泊松分布.泊松分布可作为描述大量试验中稀有事件出现次数的概率分布的数学模型.1.2.1 泊松分布的概率分布列

11、泊松分布的概率分布如下所示：kP(=k)e,k=0,1,2,其中，大于0,记作-PC),k!对于泊松分布而言，它的参数即是期望又是它的方亲：E()八ke二eze_e心k心(k1)!又因，E(07-E(OJE()=-1.2.2泊松分布的可加性定理1.2.1设随机变量尸P(D,2P(-2),且1,2相互独立，则V2P(.2).根据锻公JB)P(W=k)=e0,定义函数14XJ2/2二/PM)=-=eX(_：.,.：)cr它含有两个参数和二.显然的，PiJX)取正值.我们称密度函数为P七(X)的分布为正态分布，记作N(J,；卜)，它的分布函数记为.J22-1e2;-dtU(X)I2二x(v,：)正态

12、分布的密度函数的图像是一条钟形曲线，中间高两边低，而且关于X”1对称，在此处P七(X)取最大值1我们称为该正态分布的中心，在X八1附近取值的可能性比较大，在X二；丁处有拐点.若将，固定，改变二的取值，则二越大，曲线峰顶越低，图像较为平坦：-越小，曲线封顶越高，图像较为陡峭.因此正态密度函数的尺度由二确定，故称二为尺度参数.同样的，将二固定，而去改变的值，会发现图像沿X轴平移而并不改变形状，也就说明该函数的位置由决定，故称其为位置参数.当=0,；：=1时的正态分布称为标准正态分布，记作N(0,1).它的密度函数记为:(u),分布函数记为叮J(U).则有12半(IJ)=A=e%u6(一垃)、；2兀

13、.uV2(u)-27-dt,u1.3.2一般正态分布的标准化对于正态分布族=N(*2)；J：),；.O；标准正态分布N(0,1)只是其中一个成员.其实在应用中很少有随机变量恰好服从标准正态分布，可是一般正态分布均可以利用线性变换转变成标准正态分布.所以一切与正态变量有关的事件的概率均可通过标准正态分布分布求取.定理1.3.1如果随机变量YN(匚)，则X=(Y)/二N(0,1),其中X为标准正态变量.证明记Y与X的分布函数分别为F(y)和Fx(X),易知FX(X)二P(X沁)二P._x二P(YJ；X)二Fy(J；).因为正态分布函数严格递增而且处处可导，所以如果记Y和X的密度函数分别是p(y)和

14、P(x),会有Px(X)dF(;X)=Py()-X)C1，P/2dx2eY-k由此即得，X=N(0,1).即证对于标准正态施机变量XN(0,1),X的数学期望为1：()=axe因被积函数h(x)二xe7为奇函数，故上述积分值为0,也就是说E(X)=0.而对于一般正态变量YN(;卜)，如果满足Y-X,由数学期望的线性性质则可得到E(Y)；0二所以我们可以知道正态分布NWf2)的数学期望即为其参数J.因为Var(X)二E(Xz)_(E(X)2*e*/X2二二1FV22j2Xd(-兀1-afj2dx=21.fa27且yx,由方差的性质Var(Y)=Varx也就是说，正态分布的方差即是其另一个参数二2.1.3.3正态分布的可加性定理1.3.2设随机变量而且X和Y彼此独立，且X(7,时)，YNd,打)，则有XYN(叫